mały|Portret Gösty Mittaga-Lefflera W analizie zespolonej twierdzenie Mittag-Lefflera dotyczy istnienia funkcji meromorficznych o określonych biegunach. Odwrotnie, można go użyć do wyrażenia dowolnej funkcji meromorficznej jako sumy ułamków cząstkowych. Jest to twierdzenie podobne do twierdzenia Weierstrassa, które orzeka i istnieniu funkcji holomorficznych o określonych miejscach zerowych.
Twierdzenie to zostało nazwane na cześć szwedzkiego matematyka Gösty Mittaga-Lefflera, który opublikował jego wersje w latach 1876 i 1884.
Twierdzenie Niech będzie zbiorem otwartym w oraz będzie podzbiorem, którego punkty skupienia, jeśli występują, występują na brzegu zbioru Dla każdego w niech będzie wielomianem ze względu na zmienną bez stałego współczynnika, tj. wyrażeniem postaci
Twierdzenie Miggag-Lefflera mówi, że przy takich założeniach istnieje funkcja meromorficzna na zbiorze której bieguny są dokładnie elementami i takie, że dla każdego takiego bieguna funkcja ma tylko usuwalną osobliwość na w szczególności częścią główną z wokół punktu jest Funkcja taka nie jest określona jednoznacznie. Dowolna inna funkcja funkcję meromorficzną na która spełnia założenia twierdzenia można wyrazić w postaci gdzie jest dowolną funkcją holomorficzną na
Przykład Załóżmy, że chcemy otrzymać funkcję meromorficzną z prostymi biegunami z residuum 1 dla biegunów we wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Przy zapisie jak wyżej, niech
oraz Twierdzenie Mittag-Lefflera daje istnienie funkcji meromorficznej z częścią główną w dla każdej liczby całkowitej dodatniej Funkcję taką możemy określić też jawnie przy pomocy szeregu
Ten szereg zbiega normalnie na dowolnym zwartym podzbiorze (co można wykazać za pomocą kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów) do funkcji meromorficznej o pożądanych własnościach.
Rozwinięcia biegunowe funkcji meromorficznych Oto kilka przykładów rozwinięć biegunowych funkcji meromorficznych:
Zobacz też Twierdzenie Liouville’a
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia – analiza zespolona