mały|Suma teleskopowa przypomina składanie teleskopu, w którym kolejne segmenty wsuwają się w siebie i znikają, pozostawiając jedynie elementy skrajne.
Suma teleskopowa – suma skończona lub nieskończona, której wyrazy po odpowiednim przekształceniu ulegają kolejnej redukcji teleskopowej, pozostawiając jedynie wyrazy początkowe i końcowe.
Najczęściej rozważa się sumy postaci
,
gdzie jest funkcją określoną na pewnym podzbiorze liczb całkowitych.
Definicja
Niech oraz niech .
Sumę
nazywa się sumą teleskopową, jeżeli istnieje funkcja taka, że
dla każdego .
Wówczas po rozwinięciu sumy otrzymujemy
a wszystkie wyrazy pośrednie redukują się parami.
Własność podstawowa
Jeżeli
to zachodzi wzór
Dowód
Korzystając z definicji, mamy
.
Po skróceniu wszystkich wyrazów występujących z przeciwnymi znakami pozostaje
.
Związek z operatorem różnicowym
Niech oznacza operator różnicy skończonej
.
Wówczas każdy wyraz sumy teleskopowej można zapisać w postaci
.
Otrzymujemy zatem zależność
.
Stanowi ona dyskretny odpowiednik twierdzenia Newtona–Leibniza, zgodnie z którym całka funkcji pochodnej zależy wyłącznie od wartości funkcji pierwotnej na krańcach przedziału.
Szeregi teleskopowe
Jeżeli istnieje granica
,
to z własności teleskopowej wynika
.
W szczególności szereg teleskopowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności.
Przykłady
Przykład elementarny
Rozważmy sumę
.
Korzystając z rozkładu na ułamki proste,
,
otrzymujemy
.
Po rozwinięciu:
.
Wszystkie wyrazy pośrednie redukują się, więc
.
Szereg harmoniczny drugiego rzędu
Rozważmy szereg
.
Z poprzedniego przykładu wynika, że
.
Przechodząc do granicy przy , otrzymujemy
Przykład logarytmiczny
Niech
.
Wówczas .
Po redukcji pozostaje . Ciąg Fibonacciego Niech oznacza ciąg Fibonacciego. Korzystając z tożsamości ,
można skonstruować liczne szeregi teleskopowe związane z odwrotnościami kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego. Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Szeregi Kategoria:Matematyka dyskretna