Lemat Mocanu-Șerba – twierdzenie z zakresu analizy zespolonej i geometrycznej teorii funkcji analitycznych, dotyczące warunku wystarczającego dla gwiaździstości funkcji holomorficznej. Zostało sformułowane przez Petru T. Mocanu i Ioana Șerba w 1997 roku.

Sformułowanie

Niech oznacza dysk jednostkowy i niech będzie funkcją holomorficzną w , znormalizowaną przez warunki

Niech będzie dodatnim rozwiązaniem równania

Wtedy

Jeżeli dla każdego zachodzi nierówność

to funkcja jest gwiaździsta w .

Równoważnie, w warunkach tego kryterium zachodzi

dla .

Stała Mocanu-Șerba

Liczba występująca w lemacie jest określana w późniejszej literaturze jako stała Mocanu-Șerba (ang. Mocanu and Șerb constant).

Stała jest określona jako dodatnie rozwiązanie równania

Jej wartość przybliżona wynosi

Wynik Mocanu i Șerba jest ostry, co oznacza, że stałej nie można w ogólności zastąpić większą wartością bez utraty wynikającego z kryterium wniosku.

Związek z funkcjami gwiaździstymi

Dla funkcji holomorficznej znormalizowanej przez

warunek

jest klasycznym kryterium gwiaździstości funkcji w dysku jednostkowym.

Jeżeli zachodzi

to liczba należy do dysku o środku w punkcie i promieniu . Dysk ten jest zawarty w prawej półpłaszczyźnie, dlatego

W konsekwencji funkcja jest gwiaździsta, a więc również jednolistna w .

Zastosowania

Lemat Mocanu-Șerba jest stosowany w geometrycznej teorii funkcji analitycznych, w szczególności w badaniu warunków wystarczających dla gwiaździstości i jednolistności funkcji oraz operatorów całkowych.

Przykładem zastosowania jest praca Virgila Pescara i Nicoleta Breaz z 2015 roku, opublikowana w czasopiśmie Acta Universitatis Apulensis. Autorzy wykorzystali lemat Mocanu-Șerba do uzyskania kryteriów jednolistności dla pewnych ogólnych operatorów całkowych.

W literaturze wynik jest określany jako Mocanu and Șerb lemma, a występująca w nim liczba jako Mocanu and Șerb constant.

Historia

Lemat został opublikowany w 1997 roku w artykule Petru T. Mocanu i Ioana Șerba A sharp simple criterion for a subclass of starlike functions, opublikowanym w czasopiśmie Complex Variables.

W późniejszych pracach wynik był stosowany jako kryterium gwiaździstości i jednolistności funkcji analitycznych. Jednym z przykładów jest zastosowanie go do operatorów całkowych w pracy opublikowanej w Acta Universitatis Apulensis w 2015 roku.

Zobacz też

Funkcja gwiaździsta Funkcja jednolistna Analiza zespolona Funkcja holomorficzna Dysk jednostkowy

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Twierdzenia matematyczne