Dodawanie Minkowskiego – działanie określone na rodzinie wszystkich (niepustych) podzbiorów danej przestrzeni liniowej wzorem
Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru z określonym działaniem (np. może być grupą, zob. iloczyn kompleksowy), jednakże najczęściej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Wynik dodawania Minkowskiego nazywany jest sumą Minkowskiego.
Gdy jest dowolnym elementem przestrzeni oraz jest jej podzbiorem, to stosuje się oznaczenia oraz
Własności Dodawanie Minkowskiego jest łączne, przemienne i rozdzielne względem sumy zbiorów, tzn.
dla dowolnych podzbiorów i przestrzeni liniowej (por. modularność). Zbiór jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego. Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła. Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:
W przestrzeni liniowo-topologicznej, suma Minkowskiego dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym. Jeżeli jest metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną, to dodawanie Minkowskiego jest ciągłe względem metryki Hausdorffa w rodzinie zwartych podzbiorów
Nierówność Brunna-Minkowskiego Jeżeli oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni oraz i są zbiorami wypukłymi w to
Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna-Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej.
Przykład Dla podzbiorów płaszczyzny
ich sumą Minkowskiego jest zbiór
Jeżeli i są trójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania wzdłuż krawędzi jak na rys. 3-4.
Bibliografia
Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Kategoria:Geometria euklidesowa Kategoria:Przestrzenie liniowe Kategoria:Działania dwuargumentowe