Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).
Definicja Niech będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem Funkcja nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych oraz zachodzi
Jeżeli dla oraz zachodzi wzór
to funkcję nazywa się jednorodną stopnia .
Jeśli funkcja spełnia dla każdego oraz gdzie jest ciałem uporządkowanym, warunek
to nazywa się ją dodatnio jednorodną.
Przykłady Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. ponieważ Traktując wyznacznik jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia otrzymuje się gdzie jest dowolną macierzą kwadratową stopnia Również dla co wynika z -liniowości wyznacznika traktowanego jako funkcja wektorów należących do przestrzeni liniowej wymiaru . Dla dowolnej normy (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość
Zobacz też równanie różniczkowe
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-09-16]. Homogeneous function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].
J