Twierdzenie Salmona – twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej.
Dowód mały|300px
Niech oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.Okręgi opisane na średnicach oznaczmy jako
Przecięcia par okręgów oznaczmy jako odpowiednio. Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.
Z własności inwersji wynika, że: proste zawierające przejdą na proste są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, w punktach jest prostą zawierającą
Co więcej, punkty są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy leżą na jednym okręgu. Zauważmy teraz, że zatem leżą na jednym okręgu. Analogicznie oraz są współokręgowe.
Skoro trójki punktów i są współliniowe, możemy zapisać, że:
Zatem na czworokącie można opisać okrąg, skąd wynika, że punkty leżą na prostej, c.n.d.
Przypisy
Bibliografia S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1964.
Salmona