Test t Studenta – test statystyczny używany do sprawdzania hipotez o wartości średniej danej cechy w populacji lub różnicy między wartościami średnimi w różnych populacjach; badana cecha winna mieć rozkład normalny lub zbliżony do normalnego. Jednej z wersji tego testu używa się, gdy chce się sprawdzić, czy średnia w populacji przyjmuje określoną wartość (test t dla jednej średniej). Inna wersja stosowana jest wtedy, gdy należy sprawdzić równość średnich w dwóch niezależnych populacjach (test t dla dwóch średnich). Testu t Studenta używa się także do badania różnic między średnimi na podstawie prób powiązanych (zależnych), czyli takich, w których obserwacje występują w parach (np. pomiar przed i po zastosowaniu jakiegoś działania). Test t Studenta korzysta ze statystyki testowej o rozkładzie Studenta.
Podstawowa idea Jeśli próba losowa pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym , to średnia z próby również ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną i wariancją . Różnica dzielona przez tzw. błąd standardowy średniej (tj. iloraz odchylenia standardowego w populacji i pierwiastka z liczebności próby)
ma standardowy rozkład normalny .
Odchylenie standardowe w populacji nie jest jednak zwykle znane. Postępujemy wtedy następująco: odchylenie zastępujemy odchyleniem standardowym z próby ; uzyskany w ten sposób rozkład t Studenta pozwala oszacować średnią w populacji nawet dla małej liczebności próby (dla próby o większej liczebności dobrze przybliża ; wtedy rozkład t Studenta dobrze przybliża się rozkładem normalnym).
Test t dla jednej średniej Założenia: Test ten stosuje się, gdy można założyć, że zmienna losowa opisująca cechę w populacji ma (w przybliżeniu) rozkład normalny . Przy tym ani (średnia) ani (odchylenie standardowe) nie są znane, ale dostępna jest próba losowa pobrana z populacji. W takiej sytuacji można postawić hipotezę dotyczącą wartości i przeprowadzić test weryfikujący tę hipotezę. Sprawdzenie warunku normalności jest szczególnie istotne w przypadku małych prób (np. ), ponieważ w próbach o większej liczebności rozkład średniej próby dąży do normalnego (wynika to z centralnego twierdzenia granicznego).
Hipoteza zerowa: Oznaczmy średnią z próby symbolem a odchylenie standardowe z próby – symbolem tj.
gdzie – liczebność próby.
W ramach testu jednej średniej weryfikuje się hipotezę zerową, która zakłada, że prawdziwa średnia w populacji, z której pobierana jest próba o liczebności jest równa pewnej liczbie Jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to statystyka , dana wzorem
thumb|right|Funkcja gęstości rozkładu t-Studenta z stopniami swobody. Czerwona strefa pokazuje obszar krytyczny dla hipotezy alternatywnej prawostronnej przy poziomie istotności . Lewy koniec przedziału krytycznego odczytuje się z tablic rozkładu t Studenta jako wartość kwantylu .|299x299px ma rozkład Studenta z stopniami swobody.
Uwaga:
Niektórzy autorzy stosują wzór na odchylenie z próby w postaci estymatora
gdzie – liczebność próby.
Wtedy statystyka dana jest wzorem
Pomimo tych różnic oba wzory na statystykę są identyczne, co łatwo sprawdzić, wstawiając odpowiednie wyrażenia na / do obu wzorów na .
Hipoteza alternatywna: Hipoteza alternatywna może przyjąć trzy formy:
prawostronną: (średnia w populacji jest większa niż ), lewostronną: (średnia w populacji jest mniejsza niż ), dwustronną: (średnia w populacji nie jest równa ).
Obszar krytyczny: Podobnie jak w innych testach weryfikujących hipotezy statystyczne, wyznacza się obszar krytyczny w zależności od formy hipotezy alternatywnej oraz przyjętego poziomu istotności : thumb|right|Funkcja gęstości rozkładu t-Studenta z stopniami swobody. Czerwona strefa pokazuje obszar krytyczny dla hipotezy alternatywnej lewostronnej przy poziomie istotności .
Prawy koniec przedziału krytycznego wyznacza się następująco: odczytuje się z tablic rozkładu t Studenta wartość kwantylu i bierze się liczbę przeciwną .
|299x299px
(1) – dla hipotezy alternatywnej prawostronnej,
(2) – dla hipotezy alternatywnej lewostronnej,
(3) – dla hipotezy alternatywnej dwustronnej,
gdzie , – kwantyle rzędu i rozkładu t Studenta o stopniach swobody.
Kryterium decyzyjne: Jeżeli obliczona z próby wartość statystyki testowej znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipoteza zerowa jest odrzucana (analogicznie jest w wielu innych testach statystycznych).
(Równoważnym warunkiem odrzucenia hipotezy zerowej jest przekroczenie przez wartość p przejętego poziomu istotności .)prawo|mały|300x300px|Funkcja gęstości rozkładu t Studenta z stopniami swobody. Czerwone obszary pokazują obszar krytyczny dla hipotezy alternatywnej obustronnej przy poziomie istotności . Lewy koniec prawego podprzedziału krytycznego odczytuje się z tablic rozkładu t Studenta jako wartość kwantylu . Prawy koniec lewego podprzedziału jest liczbą przeciwną do wyżej określonego, tj. ma wartość . Przykład 1: Średnia żywotność samochodów Weryfikacja hipotezy zerowej za pomocą testu Studenta
W celu zbadania średniego przebiegu samochodu danej marki do czasu generalnego remontu, pobrano próbę losową o liczności ; średni przebieg wyniósł , a odchylenie standardowe z próby . Zakładając, że przebieg samochodu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o nieznanych parametrach przetestuj na poziomie istotności hipotezę zerową (postawioną przez producenta) , gdzie przeciwko hipotezie alternatywnej (alternatywa lewostronna, postawiona przez klienta)
Rozwiązanie:
Statystyka testowa: Test dla średniej przy nieznanym odchyleniu standardowym zmiennej losowej normalnej ma statystykę o rozkładzie t Studenta
Podstawiając dane otrzymamy wartość statystyki testowej z próby
Stopnie swobody:
Wartość krytyczna: Dla testu lewostronnego i poziomu istotności z tablic t Studenta odczytujemy wartość kwantylu , tj.
więc zbiór krytyczny ma postać
Decyzja: Ponieważ
to oznacza, że statystyka jest w obszarze krytycznym; odrzucamy więc hipotezę .
Wniosek: Na poziomie istotności istnieją podstawy do stwierdzenia, że średni przebieg samochodu do momentu jego remontu jest mniejszy niż 150 tys. km.
Test t dla dwóch średnich (próby niezależne)
Założenia: Test dwóch średnich porównuje średnie z dwóch prób o liczebnościach i pochodzących z dwóch różnych populacji. Zakłada się, że rozkłady w populacjach są w przybliżeniu normalne. Założenie to jest istotne w przypadku małych prób, ponieważ dla większych prób test jest odporny na umiarkowane odstępstwa od tego założenia. Test wymaga ponadto założenia o równości wariancji w obu populacjach.
(Podobny test umożliwiający pominięcie założenia o równości wariancji nazywany jest testem t Welcha.)
Hipoteza zerowa: Hipoteza zerowa zakłada, że różnica pomiędzy średnimi w obu populacjach ma pewną ustaloną wartość, tj. . W praktyce jest zazwyczaj
Hipoteza alternatywna: Hipoteza alternatywna może być, podobnie jak w teście jednej średniej, dwustronna lewostronna () lub prawostronna ().
Statystyka testowa: Statystyka testowa dana jest wzorem:
gdzie:
– średnia i wariancja w pierwszej próbie – średnia i wariancja w drugiej próbie
ma rozkład t Studenta o stopniach swobody.
Przykład 2: Różnica w działaniu leków Dane z badania:
Grupa 1 (Lek A): pacjentów, średni spadek ciśnienia mmHg, wariancja .
Grupa 2 (Lek B): pacjentów, średni spadek ciśnienia mmHg, wariancja .
Hipoteza zerowa: Testujemy hipotezę, że nie ma różnicy w działaniu leków, tj. . Zakładamy poziom istotności .
Hipoteza alternatywna: Zakładamy, że jest różnica w działaniu leków, tj. (hipoteza dwustronna).
Obliczenia statystyki :
Obliczamy tzw. wariancję połączoną
i wstawiamy do mianownika we wzorze na :
Obliczamy statystykę
Stopnie swobody: .
Wartość krytyczna: Dla poziomu istotności i stopni swobody wartość krytyczna odczytana z tablic t Studenta dla testu dwustronnego wynosi ok. .
Wynik: Ponieważ jest większe niż wartość krytyczna , więc odrzucamy hipotezę o braku różnic.
Wniosek: Lek A działa istotnie statystycznie lepiej niż Lek B.
Test różnicy dwóch średnich (próby zależne) Jeżeli obserwacje z dwóch populacji można powiązać w pary (na przykład testujemy zużycie paliwa wylosowanych samochodów w jeździe miejskiej i poza miastem albo umiejętności uczestników szkoleń przed i po szkoleniu), należy obliczyć różnice dla każdej pary i na tak przygotowanych danych (na obliczonych różnicach) przeprowadzić test jednej średniej.
W teście t-Studenta dla prób zależnych (parowanych) kluczowe wzory opierają się na analizie różnic między parami obserwacji.
Różnica dla każdej pary wyników: Dla każdego pacjenta obliczamy różnicę między wynikiem po badaniu a przed badaniem:
Średnia różnica w próbie:
Odchylenie standardowe różnic: Obliczane analogicznie do klasycznego odchylenia, ale dla wartości różnic
Błąd standardowy średniej różnicy: (SE)
Statystyka testowa: Statystyka Służy do sprawdzenia, czy średnia różnica istotnie odbiega od zakładanego braku różnic:
Stopnie swobody: W teście parowanym liczba stopni swobody wynosi Przykład 3: Badanie skuteczności działania leku (test parowany) Dane z badania:
Liczba pacjentów: (każdy badany dwukrotnie: przed i po podaniu leku).
Średnia różnica w wynikach: mmHg (średnia z indywidualnych spadków ciśnienia u każdego pacjenta).
Odchylenie standardowe różnic: .
Hipoteza zerowa: Założenie, że lek nie wywołuje zmiany ().
Błąd standardowy średniej różnicy (SE):
Statystyka dla prób zależnych:
Stopnie swobody: .
Wartość krytyczna: Dla poziomu istotności i stopni swobody wartość krytyczna tablic t Studenta dla testu dwustronnego wynosi ok. .
Wynik: Ponieważ jest większe niż wartość krytyczna , to odrzucamy hipotezę o braku efektu w działaniu leku.
Wniosek: Lek powoduje istotną statystycznie zmianę ciśnienia. Tablica kwantylów rozkładu t Studenta Tablica zestawia kwantyle rozkładu t Studenta. Pozwala m.in. wyznaczać obszar krytyczny dla testów statystycznych opartych na rozkładzie t Studenta o danej liczbie stopni swobody.