thumb|Przykład zbioru wypukłego (kolor turkusowy) w który spełnia założenia twierdzenia Minkowskiego. Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość -wymiarowa jest większa niż zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitą. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie Blichfeldta.

Wersja twierdzenia dla ogólniejszych krat w przestrzeni euklidesowej Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.

Niech będą liniowo niezależnymi wektorami w Zbiór

nazywany jest kratą generowaną przez Niech będzie równoległościanem generowanym przez Twierdzenie Minkowskiego można sformułować dla kraty

Niech będzie zbiorem wypukłym w który jest symetryczny względem 0 oraz niech będzie kratą w Jeżeli

to zawiera punkt należący do różny od 0, tj. .

Uwagi W przypadku, gdy zbiór jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:

jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć. Istotnie, niech będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru wynosi jednak nie zawiera punktów kratowych innych niż . Objętość -wymiarowa wynosi tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory

Dowód Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci

pewne dwa mają niepustą część wspólną.

W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory

byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność

Mamy jednak

a więc

Rodzina

jest pokryciem całej przestrzeni a więc w szczególności zbioru Ostatecznie,

co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.

Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów zbiory

mają niepusty przekrój i niech

To oznacza, że

dla pewnych Odejmując stronami, dostaniemy

przy czym relacja należenia wynika z wypukłości i symetrii względem 0 zbioru Szukanym punktem kratowym zbioru jest .

Dowód w oparciu o twierdzenie Blichfeldta

Objętość -wymarowa zbioru wynosi a więc z założenia

a zatem twierdzenie Blichfeldta stosuje się do Istnieją zatem takie dwa różne punkty że

Ponieważ zbiór jest symetryczny względem 0, element należy do Z wypukłości zbioru .

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Zbiory wypukłe Minkowskiego o punktach kratowych, twierdzenie