= Rozwiązywanie równań i nierówności =
Równania Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:
Lewa strona równania często jest oznaczana przez , a prawa przez .
W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.
Przykładami równania mogą być: , , , , .
Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) , , czy np. spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.
Dla równania jego rozwiązaniem będzie równy , co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast podstawimy otrzymamy: , rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.
Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. . Dlaczego? Podstawmy zamiast liczbę : , widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.
A następny przykład, ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast damy , otrzymamy:
zatem będzie rozwiązaniem tego równania.
Podobnie dla równania rozwiązaniem będzie lub , ponieważ:
i jest wszystko się zgadza. Rozwiązaniem nie będzie , ponieważ:
i teraz nic nie pasuje.
Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać ( nie jest równe ). W takim razie jak to ładniej zapisać?
Zacznijmy od początku. Mamy równanie i chcemy pokazać, że nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco: , . Jeśli , to: , ale , a więc: . Równanie nie jest spełnione, zatem nie jest rozwiązaniem tego równania.
Gdyby zaszła równość , to równanie zostałoby spełnione przez , a zatem byłoby rozwiązaniem tego równania.
Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.
Przekształcanie równań Aby ładnie zdaniem niektórych, a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.
W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy: dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość, wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.
Gdy mamy równanie, np. , to liczbę możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy: , czyli
i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania , dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:
.
Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady: jeśli , to , jeśli , to , jeśli , to .
Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład: - obustronnie mnożymy przez - obustronnie dzielimy przez - obustronnie mnożymy przez .
To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania: (1) (2) (3) (4)
Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):
- obustronnie dzielimy przez 2 , które jest poszukiwanym rozwiązaniem.
Przejdźmy do drugiego przykładu:
Teraz zrobimy (3):
Pozostał ostatni przykład:
I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.
Nierówność liniowa z jedną niewiadomą Mamy do rozwiązania następujące problemy: (1) (2) (3) (4) Jednak na początek trochę teorii.
Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład: dla będziemy mieli:
(nie zmieniamy znaku na przeciwny, nie jest ujemne) ale dla będzie: (musimy zmienić znak na przeciwny, jest ujemne)
Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.
Zaczniemy od (1):
Rozwiążmy teraz nierówność (2):
Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):
I został ostatni przykład (4):
Przypisy