Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach:
To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy:
Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest ψ(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia ψ(t), ψ(t), ψ(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji ψ nazywamy falami.
Drgania poprzeczne struny dyskretnej Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka.
Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi.
Drgania poprzeczne struny ciągłej Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania ψ, ψ, ψ, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone:
Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy:
Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru możemy przepisać wzór na postać tychże drgań:
Polaryzacja struny ciągłej Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa ρ. A masa na odcinku Δx wyrażamy poprzez wzór:
Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez:
Chcemy wyrazić siłę F poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest: , który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę możemy przestawić przy pomocy wzoru:
Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości ψ(z,t) względem położenia z, którego definicja:
Rozłóżmy funkcję względem położenia wokół punktu z, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe:
Biorąc Δz=z-z, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z i z, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji ψ względem położenia przy stałej proporcjonalności równej Δz:
Wniosek wypływający z tożsamości i wzoru na definicję siły F jest taki:
Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F , który po skróceniu przez Δz otrzymujemy tożsamość robiąc te czynności po kolei:
Fale stojące drgającej struny Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez:
Druga pochodna cząstkowa wyrażenia względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z):
A druga pochodna funkcji Ψ(z,t) względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu:
Biorąc równanie różniczkowe falowe i po podstawieniu do niego wzoru i i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie:
Rozwiązując równanie dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2πz/λ, wtedy:
A także możemy napisać wniosek wynikający z , którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem:
Możemy porównać obie strony wzorów z , a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny:
Fale stojące Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów i , jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej:
Warunki brzegowe Rozwiązanie na funkcje stojące nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy:
Patrząc na tożsamość dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej możemy zapisać, na podstawie dowodu , że stała B=0, jako:
Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie:
Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu , w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby λ/2, co można udowodnić przeprowadzając odpowiednie obliczenia:
W obliczeniach pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda , a z warunku i z definicji na stałą λ dalsze wzory na długość fali λ w zależności od k>1 zapisujemy:
Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych
Częstotliwości ν poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej ν względem w postaci wzorów:
Kątowa liczba falowa Liczbę falowa nazywamy liczbę falową σ, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2π, wtedy;
Równanie fali możemy przestawić przy pomocy lub na kilka równoważnych sposobów:
Patrząc na wzór , który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki:
lub w przestawieniu liczby falowej σ:
Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością Patrząc na wzór otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości ν:
Równość mnożymy obustronnie przez liczbę 2π i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej:
Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku w zależności od liczby kątowej przestawiamy:
Związek jest bardzo podobny do związku , tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała α jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności λ=2L, λ=1/2λ, λ=1/3λ, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego ν=2ν, ν=3ν, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy α dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek λν=const.
Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych:
Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej znając współczynniki A i B naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest:
Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B i B, a także A, które wyznaczymy pamiętając przy tym, że zachodzi z=z+λ:
Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z,z), wykorzystując przy tym związek oraz , w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B:
Wykorzystując fakty i , a także fakty w postaci całek i , wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z,z), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mkz, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako:
Współczynniki Fouriera Patrząc na wzory i oraz , wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A, B:
Fala prostokątna i jego analiza Fouriera
Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z dowiadujemy się, że współczynniki B są równe zero, a współczynniki A istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B, którego definicja jest w punkcie :
i dalej policzymy współczynniki B, którego definicja jest w punkcie :
i dalej policzymy współczynniki A, którego definicja jest w punkcie :
Jak widzimy, że współczynniki A , B , B są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B , na współczynnik B i na samym końcu na współczynnik A , wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera:
Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t okresu T, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy:
Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci:
Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera mając definicję współczynników Fouriera o postaciach:
Drgania struny niejednorodnej Zakładamy, że siła T działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem . Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych:
Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora funkcję f(z) , w ten sposób otrzymujemy, że siła F działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest:
Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny Δz i przez gęstość tegoż wycinka ρ(z), wtedy:
Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(ωt+φ), piszemy:
Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości: