Przestrzeń Hilberta – przestrzeń unitarna zupełna.
Oznacza to, że jest to przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, która ma zdefiniowany iloczyn skalarny, traktowana jako przestrzeń metryczna z metryką indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego jest zupełna, tzn. każdy ciąg Cauchy’ego ma granicę.
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha (z normą indukowaną przez iloczyn skalarny), przestrzenią Frécheta oraz lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną – ze względu na unormowanie i zupełność.
Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku.
Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
Przykłady Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru (1) Należą tu np. zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym, zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn.