w której to notacji nie został użyty nieograniczony, a więc nieobliczalny (nierekurencyjny) kwantyfikator ogólny, wszystkie zdania są zaś pierwszego rzędu (wyrażają prawdy o zdefiniowanych wcześniej pojęciach pierwotnych arytmetyki, nie używając kwantyfikatora ogólnego). Uzyskujemy w ten sposób formalną poprawność sformułowania aksjomatu.
Aksjomaty indukcji są ważnym elementem teorii arytmetyki.
Znane są przykłady twierdzeń, w których chociaż znamy dowody twierdzenia dla każdego to twierdzenie nie może być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych (jest niedowiedlne), gdyż każdy z tych dowodów jest prowadzony za pomocą innych narzędzi i nie da się ich sprowadzić do kroku indukcyjnego (a więc rozumowania wykazującego ), zapisanego za pomocą języka arytmetyki i obejmującego wszystkie możliwe wartości (dla każdego n pojawia się pewien nowy element niewystępujący dla innych ).
Zobacz też aksjomat nieskończoności indukcja matematyczna
Bibliografia Roman Murawski, Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1990.
Linki zewnętrzne Induction axiom , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Aksjomaty matematyczne