Wektory euklidesowe i afiniczne W geometrii i fizyce można czasami w naturalny sposób przypisać do wektora długość (moduł) oraz kierunek. Okazuje się, że pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem kąta między dwoma wektorami. Jeżeli określona jest długość wektorów, to można również określić iloczyn skalarny – iloczyn dwóch wektorów o wartości skalarnej – który daje wygodną charakteryzację algebraiczną tak długości (pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie), jak i kąta (funkcja iloczynu skalarnego między dowolnymi dwoma wektorami). W trzech wymiarach można określić dodatkowo iloczyn wektorowy, który dostarcza algebraicznej charakteryzacji pola i orientacji w przestrzeni równoległoboku wyznaczonego za pomocą dwóch wektorów (będących jego bokami).
Nie zawsze jest jednak możliwe lub pożądane określenie długości wektora w naturalny sposób. Jest tak nawet w przypadku najprostszych uogólnień wektorów przestrzennych, tj. elementów abstrakcyjnych rzeczywistych przestrzeni liniowych/wektorowych (które uogólniają pojęcie wektorów swobodnych) i przestrzeni afinicznych (stanowiących uogólnienie wektorów zaczepionych).