Dlatego do wykazania równoważności układów wystarczy wykazanie, że ciąg będący rozwiązaniem układu jest również rozwiązaniem Ponieważ dowolne równanie jest postaci (jest kombinacją oraz ), gdzie są równaniami układu zaś są dowolnymi liczbami, to każde rozwiązanie spełniające równania spełnia również
Macierze
Postać macierzy Postać macierzy Postać macierzy
Powyższym trzem operacjom elementarnym na układzie równań liniowych odpowiadają w zapisie macierzowym operacje elementarne na wierszach macierzy: dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, zamiana miejscami dwóch wierszy, pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera (w ogólności: element odwracalny).
Analogicznie definiuje się operacje elementarne na kolumnach.
Operacjom elementarnym na ustalonej macierzy stopnia odpowiadają macierze konkretnej postaci, nazywane macierzami elementarnymi – każdą z tych macierzy można uzyskać poprzez wykonanie operacji elementarnej na macierzy jednostkowej. Mnożenie macierzy z lewej strony przez macierz elementarną odpowiada wykonaniu operacji elementarnej na wierszach z kolei mnożenie prawostronne daje w wyniku macierz powstałą po wykonaniu operacji elementarnej na jej kolumnach.