Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.
Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teoriomiarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.
Definicja formalna Niech oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru Funkcję nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze ), gdy spełnia następujące warunki:
jeżeli to dla dowolnych dla dowolnych
Twierdzenie Carathéodory’ego
Niech będzie miarą zewnętrzną w zbiorze Mówi się, że zbiór spełnia warunek Carathéodory’ego względem jeśli dla każdego spełniona jest równość
która (z monotoniczności funkcji ) jest równoważna równości
Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego oraz zewnętrznego spełniona jest równość: