Niezależność Układ aksjomatów jest niezależny, jeśli żaden z aksjomatów nie wynika z pozostałych. Nie ma formalnego wymogu, aby aksjomaty były niezależne. Nie ma formalnego ograniczenia na ich liczbę. Niektórzy matematycy uważają jednak, że eleganckie jest sformułowanie danej teorii w postaci jak najmniejszej liczby prostych i niezależnych aksjomatów. Ułatwia to tworzenie modelu danej teorii i upraszcza dowodzenie ich niesprzeczności.
Jeśli jest skończonym zbiorem aksjomatów, to istnieje podzbiór taki, że jest niezależny, a jednak ma tę samą siłę, co tzn. każdy aksjomat w zbiorze można udowodnić na bazie aksjomatów w Jeśli jest nieskończony, to w ogólnym przypadku nie ma takiego podzbioru, w niektórych szczególnych przypadkach może jednak istnieć.
Zupełność Często okazuje się, że aksjomatyka nie jest zupełna, to znaczy istnieją pewne twierdzenia, dające się wyrazić w języku dowolnego modelu danej aksjomatyki, których prawdziwości nie da się rozstrzygnąć na podstawie tego zestawu aksjomatów. Przykładowo geometria euklidesowa była pierwotnie zaksjomatyzowana przez Euklidesa, okazało się jednak, że jego aksjomatyka była zbyt uboga i nie pozwalała udowodnić pewnych prawdziwych twierdzeń geometrycznych (np. twierdzenia Desargues’a i twierdzenia Pappusa).