Jego matka, Anna z Jędrzejowiczów (1894–1934), była właścicielką majątku w Dylągówce, który prowadziła wraz z mężowskim.
Po śmierci matki Dąmbskim i jego starszym bratem Stanisławem (1922–1947) zajmowała się niezamężna ciotka, Maria Jędrzejowicz (1887–1968), z którą obaj mieszkali na wsi. Dąmbski uczył się w szkole w Jaśle i do 1939 w Prywatnym Męskim Gimnazjum Towarzystwa Salezjańskiego przy Zakładzie Wychowawczym im. Abrahamowiczów we LwowieNa temat szkoły zob. . W młodości grał w piłkę nożną na gazonie w Dylągówce m.in. z zabitym przez siebie w 1944 w Hyżnem milicjantem Stanisławem Paściakiem. Odebrał religijne wychowanie i był praktykującym katolikiem.
Na przełomie 1941/1942 roku poznał ks. Mieczysława Bossowskiego, który wiosną 1942 został kapelanem Placówki Armii Krajowej Hyżne, i służył mu do mszy jako ministrant. Kilka miesięcy później, w 1942, za namową starszego kolegi Stanisława Pałaca ps. Stach został zaprzysiężony jako żołnierz podziemia w Placówce AK Hyżne z komendą w Nieborowie, której dowódcą był ppor. Mieczysław Chendyński ps. Józef. Początkowo przez około trzy miesiące był jednym z łączników przekazujących meldunki. Dowiedziawszy się o kontaktach swojego kolegi Jurka z Gestapo zaproponował Pałacowi likwidację kolegi z własnej broni, co wykonał w lesie niedaleko domu ciotki.