Gruzina nękały liczne kontuzje – w meczu przygotowawczym uszkodził więzadła krzyżowe w prawym kolanie, zaś w pierwszym meczu po zaleczeniu kontuzji podobnego urazu doznał w drugiej nodze.
Gorgodze zakończył karierę sportową wiosną 2020 roku po tym, jak sezon 2019/2020 w Top 14 został przedwcześnie zakończony z powodu pandemii COVID-19.
Kariera reprezentacyjna Gorgodze debiutował w reprezentacji Gruzji w meczu z Hiszpanią, który rozegrano 22 lutego 2003 r. Dwa lata później znalazł się w składzie reprezentacji, która rywalizowała w Pucharze Świata we Francji (rozegrał trzy mecze). Podobnie cztery lata później, kiedy w Nowej Zelandii wystąpił w czterech spotkaniach fazy grupowej. Podczas kolejnej edycji Gorgodze pełnił funkcję kapitana.
Równocześnie Gorgodze regularnie brał udział w Pucharze Narodów Europy, które to rozgrywki Gruzini zdominowali, wygrywając m.in. pięć kolejnych edycji w latach 2011–2015.
W maju 2017 roku ogłosił zakończenie reprezentacyjnej kariery. Pomimo tego liczne kontuzje w drużynie sprawiły, że otrzymał powołanie na Puchar Świata w Rugby 2019.