Z algebraicznego punktu widzenia zbiór funkcji holomorficznych określonych na zbiorze otwartym jest pierścieniem przemiennym i zespoloną przestrzenią liniową. Rzeczywiście, jest to lokalnie wypukła przestrzeń liniowo-topologiczna, gdzie półnormami są suprema na podzbiorach zwartych.
Przykłady Holomorficzne na są wszystkie funkcje wielomianowe zmiennej o współczynnikach zespolonych, funkcja wykładnicza, a także funkcje trygonometryczne sinus i cosinus, które mogą być definiowane przez funkcję wykładniczą za pomocą wzoru Eulera. Ogólniej każdy szereg potęgowy o niezerowym promieniu zbieżności jest funkcją analityczną w swoim otwartym kole zbieżności.
Główna gałąź logarytmu zespolonego jest holomorficzna na zbiorze Pierwiastek kwadratowy funkcji może być określony jako
i stąd jest on holomorficzny tam, gdzie holomorficzny jest logarytm Funkcja jest holomorficzna na zbiorze
Holomorficzna funkcja o wartościach rzeczywistych musi być stała, co jest konsekwencją równań Cauchy’ego-Riemanna. Stąd moduł liczby zespolonej oraz argument liczby zespolonej nie są holomorficzne.