David Hilbert foi un matemáticu alemán, reconocíu como unu de los más influyentes del sieglu XIX y principios del XX. Estableció la so reputación como gran matemáticu y científicu inventando o desenvolviendo un gran abanicu d'idees, como la teoría de invariantes, l'axiomatización de la xeometría y la noción d'espaciu de Hilbert, unu de los fundamentos del analís funcional. Hilbert y los sos estudiantes apurrieron partes significatives de la infraestructura matemática necesaria pa la mecánica cuántica y la relatividá xeneral. Foi unu de los fundadores de la teoría de la demostración, la lóxica matemática y la distinción ente matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conxuntos y los númberos transfinitos de Cantor. Un exemplu famosu del so lideralgu mundial na matemática ye la so presentación en 1900 d'un conxuntu de problemes qu'establecieron el cursu de gran parte de la investigación matemática del sieglu XX.
Nel bracéu por demostrar correutamente dalgunos de los errores cometíos por Einstein, na teoría xeneral de la relatividá, David Hilbert adelantrar a les correiciones d'Einstein, sicasí nunca quixo otorgase'l méritu.Corry
Vida Hilbert nació en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningráu, Rusia). Graduar nel llicéu de la so ciudá natal y matriculóse na Universidá de Königsberg (Albertina). Llogró'l so doctoráu en 1885, con una disertación, escrita so supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sobre les propiedaes invariantes de formes binaries especialessobremanera les funciones circulares). Hermann Minkowski coincidió con Hilbert na mesma universidá y momentu como doctorando, y aportaron a amigos íntimos, exerciendo unu sobre l'otru una influencia recíproca en dellos momentos de les sos carreres científiques.
Hilbert permaneció como profesor na Universidá de Königsberg de 1886 a 1895, cuando, como resultáu de la intervención nel so nome de Felix Klein, llogró'l puestu de Catedráticu de Matemática na Universidá de Göttingen, que naquel momentu yera'l meyor centru d'investigación matemática nel mundu, onde permanecería'l restu de la so vida.
El teorema de finitud El primer trabayu de Hilbert sobre funciones invariantes llevólu en 1888 a la demostración nel so famosu teorema de finitud. Venti años enantes, Paul Gordan demostrara'l teorema de la finitud de xeneradores pa formes binaries usando un complexu enfoque computacional. Los intentos de xeneralizar esti métodu a funciones con más de dos variables fallaron pola enorme dificultá de los cálculos implicaos. Hilbert diose cuenta de que yera necesariu siguir un camín dafechu distintu. Como resultáu, demostró'l teorema fundamental de Hilbert: amosar la esistencia d'un conxuntu finito de xeneradores, pa les invariantes cuántiques en cualquier númberu de variables, pero de forma astracta. Esto ye, demostró la esistencia de dichu conxuntu, pero non de forma algorítmica sinón por aciu un teorema d'esistencia.
Hilbert unvió les sos resultaos a los Mathematische Annalen. Gordan, l'espertu en teoría de invariantes de los Annalen, nun foi capaz d'apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y refugó l'artículu, criticando la esposición porque yera insuficientemente comprensiva. El so comentariu foi: «Esto ye teoloxía, ¡non matemática!»
Klein, per otru llau, reconoció la importancia del trabayu y aseguróse de que fora publicáu ensin alteraciones. Animáu por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert estendió'l so métodu nun segundu artículu, apurriendo estimaciones sobre'l grau máximu del conxuntu mínimu de xeneradores, y unviar una vegada más a los Annalen. En lleendo'l manuscritu, Klein escribiólu, diciendo: «Ensin dulda ésti ye'l trabayu más importante n'álxebra xeneral que los Annalen publicaron nunca». Más palantre, cuando la utilidá del métodu de Hilbert fuera reconocida universalmente, el mesmu Gordan diría: «He d'almitir qu'inclusive la teoloxía tien los sos méritos».
Axiomatización de la xeometría
El testu Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la xeometría), que Hilbert publicó en 1899, sustitúi los tradicionales axomes de Euclides por sistema formal de 21 axomes. Eviten les debilidaes identificaes nos d'Euclides, que la so obra clásica Elementos siguía siendo usada como llibru de testu naquel momentu.
L'enfoque de Hilbert marcó'l cambéu al sistema axomáticu modernu. Los axomes nun se tomen como verdaes evidentes. La xeometría puede tratar de coses, sobre les que tenemos intuiciones poderoses, pero nun ye necesariu asignar un significáu esplícitu a los conceutos indefiníos. Como diz Hilbert, los elementos tales como'l puntu, la recta, el planu y otros, pueden sustituyise con meses, sielles, jarras de cerveza y otros oxetos. Lo que s'alderica y desenvuélvese son les sos rellaciones definíes.
Hilbert empieza numberando los conceutos ensin definición: puntu, recta, planu, incidencia (una rellación ente puntos y planos), tar ente, congruencia de pares de puntos y congruencia d'ángulos. Los axomes unifiquen la xeometría plana y la sólida de Euclides nun únicu sistema.
Los 23 problemes
Hilbert propunxo una llista bien influyente de 23 problemes ensin resolver nel Congresu Internacional de Matemáticos de París en 1900. Reconocer de forma xeneral qu'esta ye la escoyeta de problemes abiertos más esitosa y de fonda considerancia producida nunca por un únicu matemáticu.
En reescribiendo los fundamentos de la xeometría clásica, Hilbert podía habelo extrapolado al restu de les matemátiques. Esti enfoque difier, sicasí, de los posteriores «loxicistes» Russel-Whitehead o'l «formalismu matemáticu» del so contemporaneu Giuseppe Peano y más apocayá del «conxuntu de matemáticos» Nicolas Bourbaki . La comunidá matemática al completu podría embarcase en problemes qu'él identificó como aspeutos cruciales nes árees de la matemática qu'él consideró como claves.
Llanzó'l conxuntu de problemes na conferencia "Los problemes de la matemática" presentada mientres el cursu del Segundu Congresu Internacional de Matemáticos celebráu en París. Esta ye la introducción a la conferencia de Hilbert:
¿Quién ente nós nun taría contentu de llevantar el velu tres el que s'escuende'l futuru; reparar los desarrollos por venir de la nuesa ciencia y los secretos del so desenvolvimientu nos sieglos que sigan? ¿Cual va ser l'oxetivu escontra'l que va tender l'espíritu de les xeneraciones futures de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos fechos va revelar el nuevu sieglu nel vastu y ricu campu del pensamientu matemáticu?
Presentó menos de la metá de los problemes nel Congresu, que fueron publicaos nes actes. Estendió'l panorama nuna publicación posterior, y con ella llegó la formulación canónica actual de los 23 Problemes de Hilbert. El testu al completu ye importante, yá que la exéxesis de les cuestiones puede siguir siendo materia d'alderique inevitable, cada vegada que se preguntar cuántes fueron resueltes:
1. Problema de Cantor sobre'l cardinal del continuu. ¿Cuál ye'l cardinal del continuu?
2. La compatibilidá de los axomes de l'aritmética. ¿Son compatibles los axomes de l'aritmética?
3. La igualdá de los volúmenes de dos tetraedros d'igual base ya igual altor.
4. El problema de la distancia más curtia ente dos puntos. ¿Ye la llinia recta la distancia más curtia ente dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier xeometría?
5. Establecer el conceutu de grupu de Lie, o grupu continuu de tresformamientos, ensin asumir la diferenciabilidad de les funciones que definen el grupu.
6. Axiomatización de la física. ¿Ye posible crear un cuerpu axomáticu pa la física?
7. La irracionalidá y trescendencia de ciertos númberos como y, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los númberos primos.
9. Demostración de la llei más xeneral de reciprocidá nun cuerpu de númberos cualesquier.
10. Establecer métodos efectivos de resolución d'ecuaciones diofánticas.
11. Formes cuadráticas con coeficientes alxebraicos cualesquier.
12. La estensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominiu de racionalidá alxebraica.
13. Imposibilidá de resolver la ecuación xeneral de séptimu grau per mediu de funciones de namái dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemes completos de funciones.
15. Fundamentación rigorosa del cálculu enumerativo de Schubert o xeometría alxebraica.
16. Problema de la topoloxía de curves alxebraiques y de superficies.
17. La espresión de formes definíes por sumes de cuadraos.
18. Construcción del espaciu de los poliedros congruentes.
19. Les soluciones de los problemes regulares del cálculu de variaciones, ¿son siempres analítiques?
20. El problema xeneral de condiciones de comarca de Dirichlet.
21. Demostración de la esistencia d'ecuaciones diferenciales lliniales de clase fuchsiana, conocíos los sos puntos singulares y grupu monodrómico.
22. Uniformidá de les rellaciones analítiques per mediu de funciones automórficas: siempres ye posible uniformizar cualquier rellación alxebraica ente dos variables per mediu de funciones automorfas d'una variable.
23. Estensión de los métodos del cálculu de variaciones.
Dalgunos resolviéronse en poco tiempu. Otros hanse aldericáu mientres tol sieglu XX, y anguaño llegóse a la conclusión de qu'unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Dalgunos siguen siendo anguaño un retu pa los matemáticos.
Formalismu Siguiendo l'enclín que se convirtiera n'estándar a metá de sieglu, el conxuntu de problemes de Hilbert tamién constituyía una especie de manifiestu, qu'abrió la vía pal desenvolvimientu de la escuela del Formalismu matemáticu, una de les trés escueles matemátiques más importantes del sieglu XX. D'alcuerdu al formalismu, la matemática ye un xuegu —carente de significáu— nel qu'unu prauticar con símbolos carentes de significáu d'alcuerdu a unes regles formales establecíes de mano. Por tanto ye una actividá de pensamientu autónoma. Sicasí, hai marxe pa la dulda al respeutu de si la mesma visión de Hilbert yera simplistamente formalista nesti sentíu.
El programa de Hilbert
En 1920 propunxo de forma esplícita un proyeutu d'investigación (en metamatemática, como se llamó entós) qu'acabó siendo conocíu como programa de Hilbert. Quería que la matemática fora formulada sobre unes bases sólides y dafechu lóxiques. Creía que, en principiu, esto podía llograse, amosando que:
tola matemática siguir d'un sistema finito d'axomes escoyíos correutamente; y # que tal sistema axomáticu puede probase consistente.
Paecía tener razones téuniques y filosófiques pa formular esta propuesta. Esto afirmaba'l so disgustu polo que se diera a conocer como ignorabimus, qu'entá yera un problema activu nel so tiempu dientro del pensamientu alemán, y que podía rastrexase nesa formulación hasta Emil du Bois-Reymond.
El programa sigue siendo reconocible na filosofía de la matemática más popular, onde se-y llama de normal formalismu. Por casu, el grupu Bourbaki adoptó una versión selectivo y esleío como fayadiza pa los requisitos de los sos proyeutos ximielgos de (a) escribir trabayos fundamentales enciclopédicos, y (b) dar soporte al sistema axomáticu como ferramienta d'investigación. Esti enfoque tuvo ésitu ya influencia en rellación col trabayu de Hilbert na álxebra y l'analís funcional, pero nun consiguió cuayar igual colos sos intereses en física y lóxica.
El trabayu de Gödel Hilbert y los matemáticos de talentu que trabayaron con él nesta empresa taben dedicaos al proyeutu. El so intentu de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definíos, qu'esaniciaría les incertidumes teóriques, diba sicasí a acabar en derrota.