360px|right En matemátiques, 0,999… (siendo la coma un separador decimal) ye'l númberu decimal periódicu que se demuestra nesti mesmu artículu— denota al númberu 1. N'otres pallabres, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintes del mesmu númberu real.0,9 periódicu tamién puede escribise como o o o bien como un siguíu de tantos 9's como se deseye na parte decimal periódica. Les demostraciones matemátiques d'esta igualdá formuláronse con distintos graos de rigor, dependiendo del métodu escoyíu pa definir los númberos reales, les hipótesis y camientos de partida, el contestu históricu o'l públicu al que se dirixe.
El fechu de que ciertos númberos reales puedan representase por más d'una secuencia de díxitos nun se llenda al sistema decimal namái. El mesmu fenómenu asocede en toles bases enteres, y los matemáticos tamién cuantificaren les maneres d'escribir 1 en bases non enteres. Nin siquier se trata d'un fenómenu acutáu al númberu 1: tou númberu decimal finitu non nulu tien un ximielgu con infinitos nuevos, por casu: 2 y 1,999... representen al númberu natural dos; 28,3287 y 28,3286999... tamién representen al mesmu númberu decimal. Por simplicidá, el decimal finito ye cuasi siempres la representación preferida, lo que puede contribuyir a una equivocada interpretación de que ye la única representación. Per otra parte, la forma non terminal d'un númberu dexa estudiar más fácilmente los patrones de la espansión decimal de ciertes fracciones; en base tres, por casu, dexa espresar la estructura ternaria del conxuntu de Cantor, un fractal simple. La representación múltiple tien de tomase en cuenta na demostración clásica de la non numerabilidá de los númberos reales. De manera más xeneral, cualesquier sistema de numberación posicional de los númberos reales, contién una cantidá infinita de númberos con representaciones múltiples.
La igualdá 0,999... = 1 acéptase dende va tiempu polos matemáticos ya inclúiese nos llibros de testu. Nun foi hasta les últimes décades en que los enseñantes de matemática se decidieron por estudiar la perceición d'esta igualdá ente los estudiantes, munchos de los que primero la cuestionaron o la negaron. Munchos persuádense por una apelación a l'autoridá de los llibros de testu y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sicasí, dalgunos nun se conformen polo que busquen una xustificación ulterior.
La igualdá 0,999... = 1 ta íntimamente rellacionada cola ausencia de númberos reales infinitesimales non nulos. Dellos sistemes de numberación alternativos, como los númberos hiperreales, sí contienen infinitesimales non nulos; nestos sistemes, a diferencia de los reales, puede haber númberos que la so estrema col 1 seya menor que cualquier númberu racional. Otros sistemes, como por casu los númberos p-ádicos, tienen otra forma d'espansión decimal», que se porta de manera bien distinta a la espansión de los númberos reales. Anque los númberos reales son l'oxetu d'estudiu más común nel campu del analís matemáticu, tantu los hiperreales como los p-ádicos tienen aplicaciones nesti área.
Demostraciones alxebraiques Fracciones y división euclidiana
Una razón pola que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, ye que dexa la representación de fracciones. Utilizando l'algoritmu de la división, una simple división d'enteros como 1/9, convertir nel decimal periódicu 0,111..., nel que los díxitos repitir ensin fin. Esti exemplu utilizar pa dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.
La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada díxitu, asina 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo qu'implica que 0,999... = 1:Peressini p.186.
Una alternativa, tamién bien frecuente, ye utilizar 1/3 = 0,333... y multiplicar por 3.
Multiplicación por 10
Cuando un númberu escritu en notación decimal multiplicar por 10, los díxitos nun camuden pero'l separador decimal muévese un llugar a la derecha. Asina, 10 × 0,999... = 9,999..., que ye 9 unidaes mayor que'l númberu orixinal. Pa comprobalo, basta restar 0,999... de 9,999..., los díxitos a la derecha del separador decimal atáyense unu a unu, y el resultáu ye 9 − 9 = 0 pa cada unu d'estos díxitos:
Discutiniu
Anque estes pruebes demuestren que 0,999... = 1, el pretender qu'«espliquen» la ecuación, depende de les mires de l'audiencia atendida. N'aritmética elemental, estes pruebes ayuden a esplicar por qué 0,999... = 1, o por qué 0,333... < 0,34. N'álxebra elemental, estes demostraciones espliquen por qué'l métodu xeneral de conversión ente fracciones y númberos decimales funciona. Pero les pruebes nun esclarien la rellación fundamental ente los decimales y los númberos a los que representen, onde subyaz la entruga de cómo dos decimales distintos pueden ser, ello ye qu'iguales.Esti argumentu atópase en Peressini y Peressini p. 186. William Byers argumenta que l'estudiante qu'acepta que 0,999... = 1 basáu nestes pruebes, pero que nun resolvió l'ambigüedá, nun entendió realmente la ecuación.Byers páxs. 39–41. Según Fred Richman, el primer argumentu «toma la so fuercia del fechu de que la mayor parte de la xente foi adoctrinada p'aceptar la primer ecuación ensin pensalo».Richman p. 396.
Una vegada que se definió un esquema representativu, puede usase pa xustificar les regles de l'aritmética decimal utilizada nestes demostraciones. Entá más, puede demostrase direutamente que los decimales 0,999... y 1,000... representen el mesmu númberu real; esta construcción por definición esplícase más embaxo.
Demostraciones analítiques
Como la cuestión de 0,999... nun afecta al desarrollu formal de les matemátiques, puede aplazase hasta que se demuestren los teoremes estándares del analís real. Un requisitu ye carauterizar los númberos reales que pueden escribise en notación decimal, compuestu por un signu opcional, una secuencia finita de cualquier númberu de díxitos que formen la parte entera, un separador decimal y una secuencia de díxitos que formen la parte fraccionaria. Pa falar de 0,999... la parte entera puede resumise como b0 y pueden desdexase negativos, asina una espansión decimal tien la forma
Ye vital que la parte fraccionaria, a diferencia de la parte entera, nun tea llindada a un númberu finitu de díxitos. Esto ye una notación posicional, asina por casu, el cinco en 500 contribúi diez veces más que'l 5 en 50, y el 5 en 0,05 contribúi una décima parte que'l 5 en 0,5.
Series infinites y socesiones
El desarrollu quiciabes más común de les espansiones decimales, ye definiles en términos de series infinites. Polo xeneral:
Pa 0,999... puede aplicase'l teorema de converxencia de les series xeométriques:Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706
Si entós
Puesto que 0,999... ye una suma d'esti tipu, con , el teorema resuelve rápido la cuestión:
Esta demostración (ello ye que que 10 ye igual a 9,999...) apaez yá en 1770 en Elementos d'álxebra de Leonhard Euler.Euler p.170.
right|thumb|250px|Llendes: l'intervalu unidá, incluyendo la socesión de fracciones (en base 4): que converxe a 1.
La suma de series xeométriques en sí, son un resultáu anterior a Euler. Una demostración típica del sieglu XVIII utiliza una manipulación términu a términu asemeyada a la demostración alxebraica enantes amosada; en 1811, el llibru de testu de Bonnycastle Una Introducción a l'Álxebra usa una serie xeométrica d'esti tipu pa xustificar la mesma maniobra sobre 0,999....Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177. Una reacción del sieglu XIX contra tales métodos d'adición lliberales resultó na definición qu'entá apodera güei: la suma d'una serie defínese como la llende de la socesión de les sos sumes parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula esplícitamente esta socesión; puede atopase en cualquier introducción al cálculu o l'analís basáu na demostración.J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter y Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31.
Una socesión (x0, x1, x2, ...) tien por Llende d'una socesión llende x si la distancia |x − xn| se vuelve arbitrariamente pequeña a midida que n aumenta. L'afirmación mesma 0,999... = 1 pue interpretase y demostrase como llende:La llende sigue, por casu, de Rudin p. 57, Teorema 3.20y. Pa un enfoque más direutu, ver tamién Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Seición 8.1, exemplu 2(a), exemplu 6(b).
L'últimu pasu, que , suel xustificase pol axoma de la propiedá arquimediana de los númberos reales. Esta actitú a la escontra basada en llendes ye por cierto más evocadora, anque muncho menos precisa. Por casu, nel llibru de testu de 1846 The University Arithmetic esplícase: «0,999 +, siguiendo al infinitu = 1, porque cada 9 anexáu avera'l valor entá más a 1»; el testu de 1895 Arithmetic for Schools diz «...cuando se toma una gran cantidá de 9s, la diferencia ente 1 y 0,99999... vuélvese inconcebiblemente pequeña».Davies p. 175; Smith y Harrington p. 115. Estos enfoques heurísticos suelen interpretase polos estudiantes como que 0,999... en sí ye menor que 1.
Intervalos encaxaos y cotes cimeres
right|thumb|250px|Intervalos encaxaos: en base 3, 1 = 1,000... = 0,222...
La definición de series amosada más arriba ye una manera cenciella de definir un númberu real denotáu por una espansión decimal. El procesu opuestu apurre una visión complementaria: pa un númberu real dau, definir la espansión decimal que lu denota.
Si un númberu real x pertenez al intervalu zarráu [0 ; 10] (i.y, ye mayor o igual a cero y menor o igual a diez), puede estremase esti intervalu en diez partes que se superpongan namái nes estremidaes: [0 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 3], y asina hasta [9 ; 10]. El númberu x tien de pertenecer a dalgún d'ellos; si pertenez a [2 ;3], anótase'l díxitu «2» y subdivídese esi intervalu en [2 ; 2,1], [2,1 ; 2,2], ..., [2,8 ; 2,9], [2,9 ; 3]. Siguiendo esti procesu llógrase una socesión infinita d'intervalos encaxaos, retulaos por una socesión infinita de díxitos b0, b1, b2, b3, ..., que s'escriben
Con esti formalismu, les identidaes 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflexen, respeutivamente, el fechu de que'l 1 tea tantu nel intervalu [0 ; 1] como en [1 ; 2], polo que puede escoyese cualesquier de los dos intervalos al escribir los díxitos. P'asegurase de qu'esta notación nun abuse del signu «=», riquir d'un métodu que dexe reconstruyir un únicu númberu real pa cada decimal, como por casu les llendes; otres construcciones enceten la tema del ordenamientu.Beals p. 22; I. Stewart p. 34.
Una opción direuta ye'l teorema de los intervalos encaxaos, que garantiza que, dada una socesión d'intervalos zarraos encaxaos, que'l so llargor puede facese arbitrariamente pequeñu, los intervalos contienen exautamente un númberu real nel so interseición. Asina, b0,b1b2b3... queda definíu como l'únicu númberu conteníu en tolos intervalos [b0 ; b0 + 1], [b0,b1 ; b0,b1 + 0,1], y asina socesivamente. D'esta miente, 0,999... ye l'únicu númberu real que ta en tolos intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] pa cada cola finita de 9s. Teniendo en cuenta que'l 1 ye un elementu de cada unu d'estos intervalos, 0,999... = 1.Bartle and Sherbert páxs. 60–62; Pedrick p. 29; Sohrab p. 46.
El teorema de los intervalos surde polo xeneral como una carauterística entá más fundamental de los númberos reales: la existencia de la mínima cota cimera o supremu. Pa esplotar direutamente estos oxetos, defínese b0,b1b2b3... como la mínima cota cimera del conxuntu d'aproximantes {b0 ; b0,b1 ; b0,b1b2 ; ...}.Apostol páxs. 9, 11–12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27. Puede demostrase qu'esta definición (o la definición de los intervalos encaxaos) ye consistente col procesu de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol conclúi,
Demostración per construcción de los númberos reales