thumb|Nel concursu la busca d'un nuevu coche tres les puertes, el xugador escueye primeramente la puerta 1. El presentador ábre-y la puerta 3, revéla-y qu'hai una cabra y ufiérta-y la posibilidá d'escoyer la puerta 2 en cuenta de la 1. El problema de Monty Hall ye un problema matemáticu de probabilidá basáu nel concursu televisivu d'Estaos Xuníos Let's Make a Deal (Faigamos un tratu). El problema foi bautizáu col nome del presentador de dichu concursu: Monty Hall.
La premisa El concursante tien d'escoyer una puerta ente trés (toes zarraes); el premiu consiste en llevase lo que s'atopa detrás de la escoyida. Saber con certidume que tres una d'elles despíntase un automóvil, y tres les otres dos hai cabres. Una vegada que'l concursante escoyera una puerta y comunicáu la so eleición a los presentes, el presentador, que sabe lo qu'hai detrás de cada puerta, va abrir una de les otres dos na qu'haya una cabra. De siguío, da-y la opción al concursante de camudar, si deseyar, de puerta (tien dos opciones). ¿Debe'l concursante caltener la so eleición orixinal o escoyer la otra puerta? ¿Hai dalguna diferencia?
Esa entruga xeneró un intensu alderique. Como la respuesta correuta paez contradicir la intuición, ye aparentemente una paradoxa.
La premisa orixinal De siguío espónse l'enunciáu más famosu del problema, estrayíu d'una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citen Bohl, Liberatore y Nydick).
Supón que tas nun concursu, y se te ufierta escoyer ente tres puertes: detrás d'una d'elles hai un coche, y detrás de les otres, cabres. Escueyes una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo qu'hai detrás de les puertes, abre otra, digamos la nº3, que contién una cabra. Entós te pregunta: "¿Nun prefieres escoyer la nº2?". ¿Ye meyor pa ti camudar la to eleición?
Na carta posterior de Selvin a American Statistician (agostu de 1975) apaez la que paez ser la primer mención del términu "problema de Monty Hall".
Un problema análogu denomináu "problema de los trés prisioneros" apaeció na columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner fai'l procesu d'eleición esplícitu, evitando los camientos de la versión orixinal.
Una forma de visualizar la meyor estratexa, si camudar o non, ye reparar que la frecuencia de vegaes en que'l vehículu tea na primer puerta escoyida ye 1 de cada 3 y de que tea en dalguna de les otres dos non escoyíes, ye 2 de cada 3.
La frecuencia de vegaes que'l vehículu tea na primer puerta nun camuda cuando'l presentador indica, de les 2 puertes ensin escoyer, cuál tien la cabra. Entós la frecuencia de camudar ye ganadora 2 de cada 3 vegaes, ente que la de nun camudar ye ganadora 1 de cada 3 vegaes.
La premisa completa Ufiértase un concursu que la so mecánica ye la siguiente: Al concursante ufiértase-y la posibilidá d'escoyer una ente tres puertes. Tres una d'elles atopa un coche, y tres les otres dos hai una cabra. El concursante gana'l premiu que se despinta detrás de la puerta qu'escueya. Dempués de que'l concursante escueya una puerta, el presentador abre una de les otres dos puertes, amosando una cabra. Siempres puede faelo yá que inclusive si'l concursante escoyó una cabra, queda otra ente les puertes que refugó y el presentador conoz lo qu'hai detrás de cada puerta. Entós, ufierta al concursante la posibilidá de camudar la so eleición inicial y escoyer la otra puerta que refugó orixinalmente, que sigue zarrada.
La entruga oportuna ye: ¿tien de faelo o non?
La solución
Camientos iniciales Esta solución basar en tres suposiciones básiques: que'l presentador siempres abre una puerta, que la escueye ente les restantes dempués de que'l concursante escueya la suya, que tres ella siempres hai una cabra.
Un estudiu probabilísticu Diagrama de posibilidaes|thumb La probabilidá de que'l concursante escueya na so primer oportunidá la puerta que despinta'l coche ye de 1/3, polo que la probabilidá de que'l coche atopar nuna de les puertes que nun escoyó ye de 2/3. ¿Qué camuda cuando'l presentador amuesa una cabra tres una de les otres dos puertes?
Un camientu erróneu ye que, una vegada namái queden dos puertes, dambes tienen la mesma probabilidá (un 50%) de contener el coche. Ye errónea una y bones el presentador abre la puerta dempués de la eleición del xugador. Esto ye, la eleición del xugador afecta a la puerta qu'abre'l presentador. Nun ye un socesu aleatoriu nin inconexo.
Si'l xugador escueye na so primer opción la puerta que contién el coche (con una probabilidá de 1/3), entós el presentador puede abrir cualesquier de les otres dos puertes. Amás, el xugador pierde'l coche si camuda cuando se-y ufierta la oportunidá.
Pero, si'l xugador escueye una cabra na so primer opción (con una probabilidá de 2/3), el presentador namái tien la opción d'abrir una puerta, y esta ye la única puerta restante que contién una cabra. Nesi casu, la puerta restante tien que contener el coche, polo que camudando ganar.
En resume, si caltién la so eleición orixinal gana si escoyó orixinalmente'l coche (con probabilidá de 1/3), ente que si camuda, gana si escoyó orixinalmente una de los dos cabres (con probabilidá de 2/3). Poro, el concursante tien de camudar la so eleición si quier maximizar la probabilidá de ganar el coche.
Pa matemáticos: Sía X:(, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual atópase'l coche. Sía Y:(, P) → {1,2,3} la puerta qu'escueye aleatoriamente el candidatu. Les variables aleatories X y Y son estocásticamente independientes. Sía M: (, P) → {cabra, coche} lo que s'atopa detrás de la puerta que'l moderador, de manera aleatoria, escueye (ente les qu'entá nun s'abrieron). Cumplir entós [M=cabra] con probabilidá 1 (o siempres), esto ye: P[M=cabra] = 1. La probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche sol supuestu de qu'él nun camuda de puerta ye entós P[X=Y|M=cabra] = P[X=Y]/P[M=cabra] = (1/3)/1 = 1/3. Per otru llau, la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche sol supuestu de qu'él camuda de puerta ye entós: P[X≠Y|M=cabra] = 1 - P[X=Y] = 2/3. (Esta ye la solución correuta.)
Una "solución" incorreuta llograr de la siguiente interpretación: Si, per otru llau, el presentador escueye de manera aleatoria y uniforme ente les puertes qu'entá nun s'abrieron, entós la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche (yá qu'él nun camuda de puerta) ye P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Poro, 0,5 ye la probabilidá de que'l candidatu lleve'l coche (yá qu'él camuda de puerta), pero esta respuesta nun ye aplicable al nuesu problema.
Otra forma pa ver el plantemiento ye la siguiente: Definimos los eventos A: El concursante escueye la puerta col premiu antes de camudar d'opción y; B: El concursante escueye la puerta col premiu dempués de camudar d'opción. Entós aplicando'l teorema de Probabilidá Total, tenemos: P[B]=P[BA]+P[BÂ]=P[B|A]P[A]+P[B|Â]P[Â]=(0)(1/3)+(1)(2/3)= 2/3 (onde  representa al complementu d'A). P[B|A]=0, yá que son eventos mutuamente escluyentes. P[A]=1/3, por cuenta de que dende l'entamu escueye una puerta de trés y toes son equiprobables. P[B|Â]=1, ye porque si escoyó la puerta incorreuta dende'l principiu y darréu realiza'l cambéu, siempres va ganar. P[Â]=2/3, porque P[Â]=1-P[A]=1-1/3=2/3.
¿Por qué asocede esto? Porque lo qu'amuesa'l presentador nun afecta a la to eleición orixinal, solo a la otra puerta non escoyida. La to eleición inicial nun podía ser revelada, independientemente del so conteníu, sicasí la otra podría ser removida en casu de que nun fuera la correuta. Una vegada que s'abrir una puerta y amuésase la cabra, esa puerta tien una probabilidá igual a 0 de contener un coche, polo que dexa de tenese en cuenta. Si'l conxuntu de dos puertes tenía una probabilidá de 2/3 de contener el coche, entós, si una tien una probabilidá de 0, la otra tien de tener una probabilidá de 2/3. La eleición consiste en preguntar si prefieres siguir cola to puerta orixinal o escoyer les otres dos puertes. La probabilidá de 2/3 trespasar a la otra puerta non escoyida (en llugar d'estremase ente les dos puertes restantes de cuenta que dambes tengan una probabilidá de 1/2) porque en nengún casu puede'l presentador abrir la puerta escoyida primero. Si'l presentador escoyera al azar y abriera una de les dos puertes con cabres (siendo una d'estes posiblemente la del concursante), y depués diera de nuevu una posibilidá d'escoyer ente les demás, entós les dos puertes restantes sí tendríen la mesma probabilidá de contener el coche.
¿Por qué solemos equivocar? El razonamientu intuitivu que nos lleva a la conclusión errónea ye que como hai dos puertes, una col coche y otra cola cabra, y nun sabemos en cuál de los dos ta'l coche, pensamos que caúna tien 50% o 1/2 de probabilidá. Pero esti razonamientu nun toma en cuenta la conocencia con que les puertes fueron escoyíes. Pa ilustrar, supongamos que nun conocemos l'añu de ciertu acontecimientu históricu, pero dannos como úniques opciones 1990 y 1991. Si nun tenemos más información, podemos dicir que caúna tien 1/2 de probabilidá, pero si preguntámos-y a un estudiante que nun suel sacar bones notes, tatexa ya inseguru diznos que ye 1990, y depués preguntámos-y a un profesor d'historia y bien convencíu diznos que ye 1991, nun sería fayadizu asigna-y 1/2 de probabilidá a cada opción. La diferencia ente los dos ye'l respaldu que tienen. Una ta sofitada por daquién que podemos considerar ignorante, y la otra ta sofitada por un sabiu. Nun ye imposible que'l profesor tea equivocáu, pero sabemos qu'eso ye menos frecuente.
Nel problema de Monty Hall asocede que'l presentador conoz les posiciones y ta forzáu a dexar el carru ocultu pa la segunda ronda. Les úniques dos puertes que van permanecer tapaes son la qu'escoyó'l concursante de primeres y otra que decida'l presentador. Agora bien, el concursante escueye una puerta qu'escuende una cabra con una frecuencia de 2/3, esto ye, la mayoría de les vegaes, lo que significa que la otra puerta que dexe cerrada'l presentador va tener que ser la del carru nesa mesma mayoría de les vegaes por que pueda permanecer ocultu. N'otres pallabres, el presentador escueye'l carru con más frecuencia que'l concursante, y por eso ye más probable que se gane camudando a que se gane calteniendo la eleición orixinal.
Esplicación matemática Si utilizamos como exemplu'l concursu de les tres puertes y la cabra, el problema visualízase asina:
Puede esplicase fácilmente con una simple ecuación matemática, onde hai que saber el númberu total de puertes, cuántes s'escueyen de primeres y en cuántes s'enseñó que nun ta'l coche.
onde: ye la probabilidá d'abrir la puerta tres la cual ta'l coche. ye'l númberu de puertes escoyíes de primeres. ye'l númberu de puertes nes que s'enseñó que dientro nun hai nada. ye'l númberu total de puertes.
Tiense que cumplir que sía un númberu enteru (les puertes non pueden partise), y .
Si les probabilidaes d'abrir la puerta que contenga'l coche son del .
Exemplu con tres puertes Si tenemos tres puertes(), y delles haise escoyíu una puerta (digamos ), entós hai probabilidaes d'escoyer la puerta que contenga'l coche, siendo:
La probabilidá sería:
Tien sentíu porque si escueye una puerta () ente un conxuntu de puertes (), hai una probabilidá del d'abrir la puerta que contién el coche.
Pero si enseña una puerta () les probabilidaes d'abrir la puerta que contién el coche engrandaríense. Siendo:
La probabilidá d'abrir la puerta que contenga'l coche sería:
Exemplu con 100 puertes Si tenemos 100 puertes (), y delles haise escoyíu una puerta (digamos ), entós hai probabilidaes d'escoyer la puerta que contién el coche, siendo:
La probabilidá d'abrir la puerta que contién el coche sería: