La ecuación de Schrödinger, desenvuelta pol físicu austriacu Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal d'una partícula subatómica masiva de naturaleza ondulatoria y non relativista. Ye d'importancia central na teoría de la mecánica cuántica, onde representa pa les partícules microscópiques un papel análogu a la segunda llei de Newton na mecánica clásica. Les partícules microscópiques inclúin a les partícules elementales, tales como electrones, según sistemes de partícules, tales como nucleos atómicos.
Ecuación
Ecuación dependiente del tiempu La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más xeneral ye la ecuación dependiente del tiempu, que describe un sistema qu'evoluciona col tiempu: thumb|200px|Una función d'onda que satisfai la ecuación non relativista de Schrödinger con . Esto ye, correspuende a una partícula viaxando llibremente al traviés del espaciu llibre. Esti gráficu ye la parte real de la función d'onda.
onde ye la unidá imaxinaria, ye la constante de Planck estremada por , el símbolu indica una derivada parcial con respectu al tiempu , (la lletra griega psi) ye la función d'onda del sistema cuánticu, y ye'l operador Hamiltoniano (el cual caracteriza la enerxía total de cualquier función d'onda dada y tien distintes formes que dependen de la situación).
300px|thumb|right|Caúna de los trés files ye una función d'onda que satisfaen la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu pa un oscilador harmónicu cuánticu. A la izquierda: La parte real (azul) y la parte imaxinaria (colloráu) de la función d'onda. A la derecha: La distribución de probabilidá de topar una partícula con esta función d'onda nuna posición determinada. Los dos files de riba son exemplos de estaos estacionarios, que correspuenden a ondes estacionaries. La fila de baxo ye un exemplu d'un estáu que non ye estacionariu. La columna de la derecha ilustra por qué l'estáu puede llamase "estacionariu".
L'exemplu más famosu ye la ecuación de Schrödinger non relativista pa una partícula simple moviéndose nun campu llétricu (pero non nun campu magnéticu; ver la ecuación de Pauli):
onde ye la "masa amenorgada" de la partícula, ye'l so enerxía potencial, ye'l Laplaciano (un operador diferencial), y ye la función d'onda (más precisamente, nesti contestu, denominar "función d'onda posición-espaciu"). Esto ye, significa que la "enerxía total ye igual a la enerxía cinética más la enerxía potencial".
Según los operadores diferenciales que s'utilicen, reparar que ye una ecuación diferencial en derivaes parciales llinial. Tamién ye un casu d'una ecuación d'espardimientu, pero non como la ecuación del calor, yá que tamién ye una ecuación d'onda dada por unidá imaxinaria presente nel términu de transitoriu.
El términu "ecuación de Schrödinger" puede referise a la ecuación xeneral (la primera de riba), o la versión específica non relativista (la segunda y les sos variantes). La ecuación xeneral usar en tola mecánica cuántica, dende la ecuación de Dirac hasta la teoría de campos cuánticos, por aciu l'usu d'espresiones complicaes pal Hamiltoniano. La versión non relativista específica ye un aproximamientu simplificáu a la realidá, que tien bastante precisión en munches situaciones, pero bien imprecisa en munches otres (ver mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos relativista).
P'aplicar la ecuación de Schrödinger, utilizar pal sistema l'operador Hamiltoniano, tomáu en cuenta les enerxíes cinética y potencial de les partícules que constitúin el sistema, y depués inxertaes na ecuación de Schrödinger. La ecuación en derivaes parciales resultante resolver pa la función d'onda, que contién información avera del sistema.
Ecuación independiente del tiempu La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu prediz que les funciones d'onda pueden tener la forma d'ondes estacionaries, denominaos estaos estacionarios (tamién llamaos "orbitales", como nos orbitales atómicos o los orbitales moleculares). Estos estaos son importantes, y si los estaos estacionarios clasifíquense y pueden entendese, entós ye más bono de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu pa cualesquier estáu. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu ye la ecuación que describe los estaos estacionarios. (Solo utilízase cuando'l Hamiltoniano nun ye dependiente del tiempu. Sicasí, en cada unu d'estos casos la función d'onda total va siguir dependiente del tiempu.)
Esto ye, la ecuación diz que: Cuando l'operador Hamiltoniano actúa sobre cierta función d'onda , y la resultancia ye proporcional a la mesma función d'onda , entós ye un estáu estacionariu, y la constante de proporcionalidad, , ye la enerxía del estáu . La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu, en terminoloxía d'álxebra llinial, ye una ecuación con autovalores.
Una conocida aplicación, ye la ecuación de Schrödinger non relativista pa una partícula simple moviéndose nun campu llétricu (pero non nún magnéticu):
Orixe de la ecuación
Contestu históricu Al empiezu del sieglu XX comprobárase que la lluz presentaba una dualidá onda corpúsculu, esto ye, la lluz podía manifestase (según les circunstancies) como partícula (fotón nel efeutu fotoeléctricu), o como onda electromagnética na interferencia lluminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie propunxo xeneralizar esta dualidá a toles partícules conocíes. Propunxo la hipótesis, paradóxica nel so momentu, de qu'a toa partícula clásica microscópica puede asignáse-y una onda, lo cual comprobóse esperimentalmente en 1927 cuando se reparó la difraición d'electrones. Por analoxía colos fotones, De Broglie acomuña a cada partícula llibre con enerxía y cantidá de movimientu una frecuencia y una llonxitú d'onda :
La comprobación esperimental fecha por Clinton Davisson y Lester Germer amosó que la llonxitú d'onda acomuñada a los electrones midida na difraición según la fórmula de Bragg corresponder cola llonxitú d'onda predicha pola fórmula de De Broglie.
Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar d'escribir una ecuación pa la onda acomuñada de De Broglie que pa escales macroscópiques amenorgar a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La enerxía mecánica total clásica ye:
L'ésitu de la ecuación, deducida d'esta espresión utilizando'l principiu de correspondencia, foi inmediatu pola evaluación de los niveles cuantificados d'enerxía del electrón nel átomu d'hidróxenu, pos ello dexaba esplicar l'espectru d'emisión del hidróxenu: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc.
La interpretación física correuta de la función d'onda de Schrödinger foi dada en 1926 por Max Born. En razón del calter probabilista que s'introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger amenó primero la rocea de dellos físicos de sonadía como Albert Einstein, pa quien «Dios nun xuega a los dados» y del propiu Schrödinger.
La derivación histórica L'esquema conceptual utilizáu por Schrödinger pa derivar la so ecuación reposa sobre una analoxía formal ente la óptica y la mecánica:
Na óptica ondulatoria, la ecuación d'espardimientu nun mediu tresparente d'índiz real n variando amodo a la escala del llonxitú d'onda conduz —mientres se busca una solución monocromática onde l'amplitú varia bien amodo ante la fase— a una ecuación averada denomada eikonal. Ye l'aproximamientu de la óptica xeométrica, a la cual ta acomuñada'l principiu variacional de Fermat. Na formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, esiste una ecuación de Hamilton-Jacobi (que n'última instancia ye equivalente a les lleis de Newton). Pa una partícula masiva non relativista sometida a una fuercia que deriva d'una enerxía potencial, la enerxía mecánica total ye constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi pa la función carauterística de Hamilton” paezse formalmente a la ecuación de la eikonal (el principiu variacional asociáu ye'l principiu de mínima aición.)
Esti paralelismu haber notáu yá Hamilton en 1834, pero'l nun tenía una razón pa duldar de la validez de la mecánica clásica. Dempués de la hipótesis de De Broglie de 1923, Schrödinger diz:Schrödinger alderica en detalle les rellaciones ente la mecánica hamiltoniana y la óptica en 1926 (vease bibliografía). Walter Moore; Schrödinger - Life & Thought, Cambridge University Press (1989). la ecuación de la eikonal siendo un aproximamientu a la ecuación d'onda de la óptica ondulatoria, buscamos la ecuación d'onda de la "mecánica ondulatoria" (a realizar) onde l'aproximamientu va ser la ecuación de Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primero pa una onda estacionaria (Y = cte), dempués pa una onda de cualquier tipu.Esta derivación detallar en: Herbert Goldstein; Classical mechanics, Addison-Wesley (2.da edición-1980), párrafu 10.8, páxs. 484-492.
Schrödinger había n'efeutu empezáu per tratar el casu d'una partícula relativista —como de Broglie primero qu'él—.Abraham Païs; Inward Bound, Oxford University Press (1986). Entós llograra la ecuación conocida güei día col nome de Klein-Gordon, pero la so aplicación al casu del potencial llétricu del átomu d'hidróxenu daba unos niveles d'enerxía incompatibles colos resultaos esperimentales.La fórmula de Balmer llograda ye correuta, pero la estructura fina ye incorreuta. Ello va faer que se concentre sobre'l casu non-relativista, col ésitu conocíu.
Interpretación estadística de la función d'onda A principios de la década de 1930 Max Born que trabayara xunto con Werner Heisenberg y Pascual Jordan nuna versión de la mecánica cuántica basada nel formalismu matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger complexa tien una integral de movimientu dada por que podía ser interpretada como una densidá de probabilidá. Born dio-y a la función d'onda una interpretación probabilística distinta de la que De Broglie y Schrödinger diéren-y, y por esi trabayu recibió'l premiu Nobel en 1954. Born yá apreciara nel so trabayu por aciu el formalismu matricial de la mecánica cuántica que'l conxuntu d'estaos cuánticos llevaba de manera natural a construyir espacios de Hilbert pa representar los estaos físicos d'un sistema cuánticu.
D'esi manera abandonó l'enfoque de la función d'onda como una onda material, y pasó a interpretase de manera más astracta como una amplitú de probabilidá. Na moderna mecánica cuántica, el conxuntu de tolos estaos posibles nun sistema describir por un espaciu de Hilbert complexu y xebrable, y cualquier estáu instantáneu d'un sistema describir por un "vector unitariu" nesi espaciu (o más bien una clase d'equivalencia de vectores unitarios). Esti "vector unitariu" codifica les probabilidaes de los resultaos de toles posibles midíes feches al sistema. Como l'estáu del sistema xeneralmente camuda col tiempu, el vector tao ye una función del tiempu. Sicasí, tien de recordase que los valores d'un vector d'estáu son distintos pa distintes llocalizaciones, n'otres pallabres, tamién ye una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambéu nel vector tao.
Formulación moderna de la ecuación En mecánica cuántica, l'estáu nel intre t d'un sistema describir por un elementu del espaciu complexu de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Dirac. Les probabilidaes de resultaos de toles midíes posibles d'un sistema pueden llograse a partir de . La evolución temporal de describir pola ecuación de Schrödinger :
onde : ye la unidá imaxinaria ; : ye la constante de Planck normalizada (h/2π) ; : ye'l hamiltoniano, dependiente del tiempu polo xeneral, l'observable correspuende a la enerxía total del sistema ; : ye l'observable posición ; : ye l'observable impulso. : ye la enerxía potencial
Como cola fuercia na segunda llei de Newton, la so forma exacta nun da la ecuación de Schrödinger, y hai de ser determinada independientemente, a partir de les propiedaes físiques del sistema cuánticu.