La lóxica proposicional o lóxica d'orde cero ye un sistema formal que los sos elementos más simples representen proposiciones, y que les sos constantes lóxiques, llamaes coneutivas lóxiques, representen operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otres proposiciones de mayor complexidá.
La lóxica proposicional trata con sistemes lóxicos qu'escarecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidaes. En lóxica proposicional magar nun hai signos pa variables de tipo entidá, sí esisten signos pa variables proposicionales (esto ye, que pueden ser interpretaes como proposiciones con un valor de verdá definíu), d'ende'l nome proposicional. La lóxica proposicional inclúi amás de variables interpretables como proposiciones simples signos pa coneutivas lóxiques, polo que dientro d'esti tipu de lóxica puede analizase la inferencia lóxica de proposiciones a partir de proposiciones, pero ensin tener en cuenta la estructura interna de les proposiciones más simples.
Introducción
Considérese'l siguiente argumentu:
Mañana ye miércoles o mañana ye xueves. Mañana non ye xueves. Polo tanto, mañana ye miércoles.
Ye un argumentu válidu. Quier dicir que ye imposible que les premises (1) y (2) sían verdaderes y la conclusión (3) falsa.
Sicasí, a pesar de que l'argumentu sía válidu, esto nun quier dicir que la conclusión sía verdadera. N'otres pallabres, si les premises son falses, entós la conclusión tamién podría selo. Pero si les premises son verdaderes, entós la conclusión tamién la ye. La validez del argumentu nun depende del significáu de les espresiones «mañana ye miércoles» nin «mañana ye xueves», sinón de la estructura mesma del argumentu. Estes premises podríen camudase por otres y l'argumentu permanecería válidu. Por casu:
Güei ta soleyeru o ta borrinosu. Güei nun ta borrinosu. Polo tanto, güei ta soleyeru.
La validez de los dos argumentos anteriores depende del significáu de les espresiones «o» y «non». Si dalguna d'estes espresiones camudar por otra, entós los argumentos podríen dexar de ser válidos. Por casu, considérese'l siguiente argumentu inválidu:
Nin ta soleyeru nin ta borrinosu. Nun ta borrinosu. Polo tanto, ta soleyeru.
Estes espresiones como «o» y «non», de les que depende la validez de los argumentos, llámense coneutivas lóxiques. Tocantes a espresiones como «ta borrinosu» y «mañana ye xueves», lo único qu'importa d'elles ye que tengan un valor de verdá. Ye por esto que-y les reemplaza por simples lletres, que la so intención ye simbolizar una espresión con valor de verdá cualesquier. A estes lletres se les llapada variables proposicionales, y polo xeneral tómense del alfabetu llatín, empezando pola lletra p (de «proposición») depués q, r, s, etc. Ye asina que los dos primeros argumentos d'esta seición podríen reescribise asina:
p o q Non q Polo tanto, p
Y el tercer argumentu, a pesar de nun ser válidu, puede reescribise asina:
Nin p nin q Non q Polo tanto, p
Conectivas lóxiques
De siguío hai una tabla qu'esplega toles coneutivas lóxiques qu'ocupen a la lóxica proposicional, incluyendo exemplos del so usu nel llinguaxe natural y los símbolos que s'utilicen pa representales en llinguaxe formal.
ConectivaEspresión n'elllinguaxe naturalExemplu !Símbolu en<br />esti artículu !Símbolos<br />alternativos Negaciónnon Nun ta lloviendo. Conxunciónalign="left" | Ta lloviendo y ta borrinosu. Dixunciónalign="left" | Ta lloviendo o ta soleyeru. Condicional materialalign="left" | Si ta soleyeru, entós ye de día. Bicondicionalalign="left" | Ta borrinosu si y namái si hai nubes visibles. Dixunción opuestanin... nin Nin ta soleyeru nin ta borrinosu. Dixunción esclusivao bien... o bien O bien ta soleyeru, o bien ta borrinosu.
Na lóxica proposicional, les coneutivas lóxiques trátense como funciones de verdá. Esto ye, como funciones que tomen conxuntos de valores de verdá y devuelven valores de verdá. Por casu, la coneutiva lóxica «nun ye una función que si toma'l valor de verdá V, devuelve F, y si toma'l valor de verdá F, devuelve V. Poro, si aplícase la función «non» a una lletra que represente una proposición falsa, el resultáu va ser daqué verdaderu. Si ye falsu que «ta lloviendo», entós va ser verdaderu que «nun ta lloviendo».
El significáu de les coneutivas lóxiques nun ye namás que'l so comportamientu como funciones de verdá. Cada coneutiva lóxica estremar de les otres polos valor de verdá que devuelve frente a les distintes combinaciones de valores de verdá que puede recibir. Esto quier dicir que'l significáu de cada coneutiva lóxica puede ilustrase por aciu una tabla qu'esplegue los valores de verdá que la función devuelve frente a toles combinaciones posibles de valores de verdá que puede recibir.
NegaciónConxunciónDixunciónCondicionalBicondicionalDixunción esclusiva
Lleis notables en lóxica Ente les regles de la lóxica proposicional clásica dalgunes de la más notables son llistaes de siguío: Llei de doble negación Lleis de idempotencia Lleis asociatives Lleis conmutatives Lleis distributives Lleis de De Morgan Otres lleis como'l principiu del terceru escluyíu son almitibles en lóxica clásica, pero en lóxica intuicionista y con fines a les sos aplicaciones matemátiques nun esiste un equivalente del terceru escluyíu, por casu.
Llendes de la lóxica proposicional
La maquinaria de la lóxica proposicional dexa formalizar y teorizar sobre la validez d'una gran cantidá d'argumentos. Sicasí, tamién esisten argumentos que son intuitivamente válidos, pero que la so validez non poder probar pola lóxica proposicional. Por casu, considérese'l siguiente argumentu:
Tolos homes son mortales. Sócrates ye un home. Poro, Sócrates ye mortal.
Como esti argumentu nun contién nenguna de les coneutivas «non», «y», «o», etc., según la lóxica proposicional, la so formalización va ser la siguiente:
p q Poro, r
Pero esta ye una forma d'argumentu inválida, y eso contradiz la nuesa intuición de que l'argumentu ye válidu. Pa teorizar sobre la validez d'esti tipu d'argumentos, precísase investigar la estructura interna de les variables proposicionales. D'esto ocupa la lóxica de primer orde. Otros sistemes formales dexen teorizar sobre otros tipos d'argumentos. Por casu la lóxica de segundu orde, la lóxica modal y la lóxica temporal.
Dos sistemes formales de lóxica proposicional De siguío preséntense dos sistemes formales estándar pa la lóxica proposicional. El primeru ye un sistema axomáticu simple, y el segundu ye un sistema ensin axomes, de deducción natural.
Sistema axomáticu
Alfabetu
L'alfabetu d'un sistema formal ye'l conxuntu de símbolos que pertenecen al llinguaxe del sistema. Si L ye'l nome d'esti sistema axomáticu de lóxica proposicional, entós l'alfabetu de L consiste en: Una cantidá finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. Polo xeneral tomar del alfabetu llatín, empezando pola lletra p, depués q, r, etc., y utilizando subíndices cuando ye necesariu o conveniente. Les variables proposicionales representen proposiciones como "ta lloviendo" o "los metales espandir col calor". Un conxuntu d'operadores lóxicos: Dos signos de puntuación: los paréntesis esquierdu y derechu. La so única función ye desambiguar ciertes espresiones ambigues, n'esactamente'l mesmu sentíu en que desambiguan la espresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tantu (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
Gramática
Una vegada definíu l'alfabetu, el siguiente pasu ye determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al llinguaxe del sistema. Esto llógrase por aciu una gramática formal. La mesma consiste nun conxuntu de regles que definen recursivamente les cadenes de calteres que pertenecen al llinguaxe. A les cadenes de calteres construyíes según estes regles se les llapada fórmules bien formaes. Les regles del sistema L son:
Les variables proposicionales del alfabetu de L son fórmules bien formaes. Si ye una fórmula bien formada de L, entós tamién lo ye. Si y son fórmules bien formaes de L, entós , , y tamién lo son. Namái les espresiones que pueden ser xeneraes por aciu les cláusules 1 a 3 nun númberu finito de pasos son fórmules bien formaes de L.
Según estes regles, les siguientes cadenes de calteres son exemplos de fórmules bien formaes:
Y los siguientes son ejempos de fórmules mal formaes:
{|width="600px" !align="left"|Fórmula !align="left"|Error !align="left"|Correición
|Sobren paréntesis
|Sobren paréntesis
|Sobren paréntesis
|Falten paréntesis
|Falten paréntesis
Per otra parte, yá que la única función de los paréntesis ye desambiguar les fórmules, polo xeneral acostúmase omitir los paréntesis esternos de cada fórmula, una y bones estos nun cumplen nenguna función. Asina por casu, les siguientes fórmules xeneralmente considérense bien formaes:
Otra convención avera del usu de los paréntesis ye que les conxunciones y les dixunciones tienen «menor xerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una fórmula ensin paréntesis, les conxunciones y les dixunciones tienen d'arrexuntase antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por casu:
{|width="600px" !align="left"|Fórmula !align="left"|Llectura correuta !align="left"|Llectura incorreuta
Estes convenciones son análogues a les qu'esisten nel álxebra elemental, onde la multiplicación y la división siempres tienen de resolvese primero que la suma y restar. Asina por casu, la ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretase como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). Nel primer casu el resultáu sería 8, y nel segundu casu sería 6. Pero como la multiplicación siempres tien de resolvese primero que la suma, el resultáu correuta nesti casu ye 6, non 8.
Axomes
Los axomes d'un sistema formal son un conxuntu de fórmules bien formaes que se tomen como puntu de partida pa demostraciones ulteriores. Un conxuntu d'axioma estándar ye'l qu'afayó Jan Łukasiewicz:
Regles de inferencia
Una regla de inferencia ye una función que va de conxuntos de fórmules a fórmules. Al conxuntu de fórmules que la función toma como argumentu llamar premises, ente que a la fórmula que devuelve como valor se la llapada conclusión. Polo xeneral búscase que les regles de inferencia tresmitan la verdá de les premises a la conclusión. Esto ye, que sía imposible que les premises sían verdaderes y la conclusión falsa. Nel casu de L, la única regla de inferencia ye'l modus ponens, que diz:
Recordando que y nun son fórmules, sinón metavariables que pueden ser reemplazaes por cualesquier fórmula bien formada.
Deducción natural
Dexar , onde , , , , defínese como: Alpha conxuntu de ye un conxuntos finito de símbolos que ye lo suficientemente grande como pa satisfaer les necesidaes d'un discutiniu dau, por casu:
Omega conxuntu de como partición de :
Nel siguiente exemplu ye d'un cálculu proposicional, les regles presentaes de tresformamientu tienen que ser interpretaes como regles de inferencia d'un sistema de deducción natural. El sistema particular equí presentáu nun tien puntos iniciales, lo que significa que la so interpretación pa les aplicaciones lóxiques deriva d'un teorema de conxuntos d'axomes vacíos.
*El conxuntu de puntos iniciales ta vacíu, este ye .
*El conxuntu de regles de tresformamientu descríbese como :
El nuesu cálculu proposicional tien diéz regles de inferencia. Estes regles déxennos derivar otres fórmules verdaderes dau un conxuntu de fórmules que se supón que son verdaderes. Les primeres nueve a cencielles declaren que podemos inferir ciertes fórmules bién formaes d'otres fórmules bien formaes; y la última regla utiliza'l razonamientu hipotéticu nel sentíu de que la premisa de la regla asuma temporalmente una hipótesis( non probada) pa formar parte del conxuntu de fórmules deducíes pa ver si podemos inferir dalguna otra fórmula. Yá que les primeres nueve regles nun son hipotétiques , usualmente describiríense como regles non hipotétiques, y la última regla como una regla hipotética.