thumb|upright=1.5|Exemplu qu'amuesa la conmutatividá de la suma: 3 + 2 = 2 + 3. En matemátiques, la propiedá conmutativa o conmutatividá ye una propiedá fundamental que tienen delles operaciones según la cual el resultáu d'operar dos elementos nun depende del orde en que se tomen. Esto cumplir na adición y la multiplicación ordinaries: el orde de los sumandos nun alteria la suma, o l'orde de los factores nun alteria'l productu.
La conmutatividá de les operaciones elementales de sumar y multiplicar yá yera conocida implícitamente dende l'antigüedá, anque nun foi llamada asina hasta principios del sieglu XIX, dómina en que les matemátiques contemporánees empezaben a formalizase. Les socesives ampliaciones del conceutu de númberu (númberos naturales, númberos enteros, númberos racionales, númberos reales) ampliaron l'algame de les operaciones de sumar y multiplicar, pero en toes elles caltiénse la conmutatividá. Esta propiedá tamién se satisfai en munches otres operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o'l productu de polinomios o de funciones reales.
En contraposición a la adición y la multiplicación de númberos, la sustraición y la división nun son operaciones conmutatives. Ente les operaciones non conmutatives cabo destacar tamién la composición de funciones, el productu de matrices y el productu vectorial.
A pesar de ser una propiedá aplicada básicamente a les operaciones matemátiques, la conmutatividá o la non conmutatividá son relevantes n'otros campos cercanos como la lóxica proposicional y delles operaciones de teoría de conxuntos, y en delles aplicaciones físiques tales como'l principiu d'incertidume de la mecánica cuántica. Fora del ámbitu científicu, tamién pueden atopase exemplos na vida cotidiana, una y bones la execución consecutiva de dos remanes puede tener un resultáu distinta según l'orde en que s'executen.
Definición Ello ye que la conmutatividá ye un casu particular del conceutu de función simétrica. N'efeutu, una operación binaria en M nun ye más qu'una aplicación μ: M × M M, y afirmar qu'esta ye simétrica, μ(x,y) = μ(y,x), ye esautamente lo mesmo que lo que requier la propiedá conmutativa.
Dada una operación binaria un conxuntu M, dizse que dos elementos x, y de M conmutan (o que son permutables) cuando se cumple que xy = yx. Con éses una operación ye conmutativa cuando dos elementos cualesquier conmutan.
Exemplos básicos: adición y multiplicación de númberos La importancia fundamental de la propiedá conmutativa anicia nel fechu de que la adición y la multiplicación de númberos naturales, los númberos que dexen cuntar los conxuntos finitos, son conmutatives. Por casu:
Espresáu de manera xeneral: pa cualesquier x, y de N:
L'ampliación del sistema de los númberos naturales a otros sistemes numbéricos: númberos enteros (), númberos racionales (), númberos reales (), y númberos complexos (), faise estendiéndose les operaciones de adición y multiplicación, y de manera que éstes siguen siendo conmutatives. Por casu:
Esto nun quier dicir que cualquier ampliación d'un sistema numbéricu necesariamente vaya a respetar les propiedaes previes. L'exemplu más importante d'esti fechu vien dau pol cuerpu de los cuaterniones H, que, al igual que'l de los númberos complexos, tamién ye una estensión del cuerpu de los númberos reales, pero con trés unidaes imaxinaries i, j, k en llugar d'una. La multiplicación de H non ye conmutativa, una y bones por casu i·j = k, ye distintu de j·i = -k.
En contraste coles operaciones de adición y multiplicación, les operaciones que les dexen invertir, sustraición y división, son claramente non conmutatives. Basta poner un par d'exemplos: La substraición nun ye conmutativa, yá que 1-2 2-1. La división nun ye conmutativa, yá que 1/2 2/1. Nótese que pa poder efectuar estos cálculos hai que trabayar nel sistema numbéricu apropiáu: Z pa poder restar, y Q pa poder estremar por un númberu distintu de 0
Propiedaes
Ye importante destacar que pa sacar provechu de la conmutatividá d'una operación ye necesariu qu'ésta seya asociativa, yá que nesti casu la composición de n elementos x1, …, xn puede representase (ensin paréntesis) como x1…xn. Por casu (Teorema de conmutatividá) Si una operación ye asociativa y conmutativa entós la composición de n elementos puede calculase en pa cualesquier permutación (y 1,..., y n) de los índices (1,..., n ). Si una operación asociativa y dos elementos x, y conmutan, entós tamién conmutan les sos «potencies»: , pa cualesquier m y n númberos naturales non nulos. En particular, toles potencies» (n> 0) conmutan ente elles. Sía operación asociativa en M. Si x conmuta con y y con z, entós tamién conmuta con yz
Centru
Dau un conxuntu M con una operación interna, el centru de M ye'l subconxuntu formáu polos elementos que conmutan con tolos demás; dacuando represéntase por Z(M). Afirmar que la operación ye conmutativa significa que'l centru de M ye tou M.
De resultes de la postrera de les propiedaes anteriores, si la operación ye asociativa entós el centru de M ye una parte estable pa la operación (esto ye, si dos elementos x, y pertenecen al centru entós x tamién pertenez.)
Estructures alxebraiques y conmutatividá
Una estructura alxebraica vien dada por unu o dellos conxuntos dotaos d'operaciones binaries o operaciones esternes. Na definición de cada tipu d'estructura alxebraica impon qu'estes operaciones cumplan ciertes propiedaes, ente les que puede tar la propiedá conmutativa. Cuando en dalguna d'estes operaciones nun s'impon que satisfaiga la propiedá conmutativa pero sicasí satisfacer, entós añader l'axetivu conmutativu el nome de la estructura en cuestión. Un magma ye un conxuntu dotáu d'una operación binaria. Cuando esta ye conmutativa llámase magma conmutativu. Un monoide ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa con elementu neutru. Si tamién ye conmutativa, dizse monoide conmutativu. Por casu, (N,+) y (N,·) son monoides conmutativos. Un grupu ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa, con elementu neutru, y onde tou elementu ye simetritzable. Si la operación ye conmutativa llámase grupu conmutativu o grupu abelianu. Por casu, (Z,+) ye un grupu conmutativu. Un aniellu ye un conxuntu A dotáu de dos operaciones binaries, davezu denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Al respective de la primera, (A,+) ye un grupu conmutativu. Al respective de la segunda, (A,·) ye un monoide. Amás, la segunda ten de ser distributiva al respective de la primera. Cuando la multiplicación ye conmutativa, llámase aniellu conmutativu. Por casu, (Z,+, ·) ye un aniellu conmutativu. Un cuerpu ye un aniellu onde 0≠1 y tou elementu non nulu ye invertible. Un cuerpu llámase cuerpu conmutativu cuando la multiplicación ye conmutativa. Por casu, cola suma y productu habituales, Q, R y C son cuerpos conmutativos, ente que'l cuerpu de los cuaterniones H ye un cuerpu non conmutativu. (Nótese, sicasí, que dellos autores prefieren riquir la conmutatividá del productu dientro de la definición de cuerpu, en que'l so contestu los cuerpos non conmutativos son llamaos aniellos de división.) Un espaciu vectorial sobre un cuerpu K ye un conxuntu Y dotáu d'una adddició al respective de la que (Y,+) ye un grupu conmutativu, y de una operación esterna que dexa multiplicar elementos de Y (vectores) pa elementos de K (angulares). Si en llugar d'un cuerpu considérase un aniellu la estructura resultante llámase módulu. Dau un cuerpu conmutativu K (o, más xeneralmente, un aniellu conmutativu), una K-álxebra ye un conxuntu A dotáu d'una estructura de K-espaciu vectorial (K-módulu si K ye un aniellu) y de una segunda operación binaria, usualmente representada con notación multiplicativa. Cuando esta operación ye conmutativa llámase K-álxebra conmutativa. Por casu, C y H son R-álxebres asociatives y unitaries; la primera ye conmutativa y la segunda non. Otru exemplu de gran importancia ye'l conxuntu de los polinomios nuna variable con coeficientes en K, K[X], que coles operaciones habituales de suma y productu de polinomios y de productu por angulares ye una K-álxebra asociativa, conmutativa y unitaria.
Hai, sicasí, un casu especial nel que l'axetivu conmutativu nun tien esautamente'l mesmu significáu que nos casos anteriores:
Una K-álxebra de Lie ye una K-álxebra que'l so productu, usualmente denotado por (x,y) [x,y], satisfai les propiedaes de ser alternáu ([x,x] = 0 pa tou x) y la identidá de Jacobi. Dizse que ye una K-álxebra de Lie conmutativa cuando'l productu de dos elementos cualesquier ye nulu: [x,y]=0.
L'axetivu conmutativu apaez tamién nel nome d'una caña del álxebra: el álxebra conmutativa, qu'estudia los aniellos conmutativos y los sos módulos.
Historia
right|thumb|upright=1.5|El primer usu conocíu del términu conmutativu» foi nun artículu de servos en francés, en 1814. Los primeros usos implícitos de la propiedá conmutativa remontar a l'antigüedá. Los exipcios utilizaben la propiedá conmutativa de la multiplicación pa simplificar el cálculu de productos. Na Antigua Grecia, Euclides asumió la propiedá conmutativa de la multiplicación na so obra Elementos. Los usos formales de la propiedá conmutativa apaecieron a finales del sieglu XVIII y los principios del XIX, cuando los matemáticos empezaron a trabayar nel campu de la teoría de funciones.
El primer usu documentada del axetivu conmutativu foi nun artículu de François Servois de 1814 los Annales de Gergonne, onde apaez la espresión en francés conmutatives ente elles pa describir, na terminoloxía actual, el fechu de que dos funciones conmutan. En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la espresión n'inglés commutative law nel so llibru Examples of the processes of the differential and integral calculus pa referise a la posibilidá de conmutar dos operaciones. Esti usu foi recoyíu pocu dempués, en 1844, por George Boole nun artículu en Philosophical Transactions.
Otros usos y exemplos de conmutatividá
Lóxica proposicional La propiedá conmutativa tamién ye aplicable a delles operaciones de la lóxica proposicional. En lóxica proposicional, la conmutación atopar en delles regles de sustitución:
y :, onde "" ye un símbolu metalógico que significa «nuna demostración formal, puede sustituyise con...».
Conectivos de funciones de verdá La conmutatividá ye una propiedá de delles conectivas lóxiques de la lóxica proposicional, que s'espresa con equivalencies lóxiques:Conmutatividá de la conxunciónConmutatividá de la dixunciónConmutatividá de la implicación (tamién llamada llei de la permutación)Conmutatividá de la equivalencia (tamién llamada llei conmutativa completa de la equivalencia)
Teoría de conxuntos La unión y la interseición de conxuntos son operaciones conmutatives. Anque estes operaciones pueden efectuase con families arbitraries de conxuntos, cuando se trata de dos conxuntos estes propiedaes esprésense :.
La suma y el productu de cardinales son operaciones conmutatives. Si i son dos cardinales, entós :. Esto implica en particular que la suma y el productu de númberos naturales (esto ye, los cardinales de los conxuntos finitos) son conmutatives. La conmutatividá de la suma ye consecuencia de la de la unión de conxuntos. La conmutatividá del productu ye consecuencia de qu'un productu cartesianu de conxuntos tien el mesmu númberu d'elementos independientemente de cómo se realice esti productu.
En contraste colos cardinales, polo xeneral la suma y el productu d'ordinales transfinitos nun son conmutatives. Por casu, si ω ye l'ordinal de N, 1 + ω ≠ ω + 1.
Otres operaciones alxebraiques Amás de la adición y multiplicación de númberos, hai otres operaciones análogues que son conmutatives. Ente elles destaca la adición de vectores nun espaciu vectorial cualesquier, como por casu l'espaciu euclidianu Rn, l'espai Mm,n(R) de les matrices m×n con coeficientes reales, o l'espaciu de les funciones reales (Y,R) definíes nun conxuntu cualesquier Y.