thumb|Distintes clases de númberos reales. 300px|thumb|Recta real. En matemátiques, el conxuntu de los númberos reales (denotado por ) inclúi tanto a los númberos racionales (positivos, negativos y el cero) como a los númberos irracionales; y n'otru enfoque, trascendentes y alxebraicos. Los irracionales y los trascendentesManual de matemátiques (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova; pg. 86 (1970) non pueden espresase por aciu una fracción de dos enteros con denominador non nulu; tienen infinites cifres decimales aperiódicas, tales como: √5, , el númberu real 2, que la so trescendencia foi enunciada por Euler nel sieglu XVIII.
Los númberos reales pueden ser descritos y construyíos de delles formes, delles simples anque carentes del rigor necesario pa los propósitos formales de matemátiques y otres más complexes pero col rigor necesario pal trabayu matemáticu formal.
Mientres los sieglos XVI y XVII el cálculu avanzó enforma anque escarecía d'una base rigorosa, yá que nel momentu prescindíen del rigor y fundamentu lóxicu, tan esixente nos enfoques teóricos de l'actualidá, y usábense espresiones como «pequeñu», «llende», «averar ensin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradoxes y problemes lóxicos que fixeron evidente la necesidá de crear una base rigorosa pa la matemática, que consistió de definiciones formales y rigoroses (anque verdaderamente téuniques) del conceutu de númberu real. Nuna seición posterior van describise dos de les definiciones precises más avezaes anguaño: clases d'equivalencia de socesiones de Cauchy de númberos racionales y cortadures de Dedekind.
Historia thumb|left Los exipcios dieron orixe per primer vegada a les fracciones comunes alredor del añu 1000 e. C.; alredor del 500 e. C. un grupu de matemáticos griegos lideraos por Pitágores diose cuenta de la necesidá de los númberos irracionales. Los númberos negativos fueron escurríos por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventaos en China pocu dempués, pero nun s'utilizaron n'Europa hasta'l sieglu XVII, magar a finales del XVIII Leonhard Euler refugó les soluciones negatives de les ecuaciones porque les consideraba irreales. Nesi sieglu, nel cálculu utilizábense númberos reales ensin una definición precisa, cosa que finalmente asocedió cola definición rigorosa fecha por Georg Cantor en 1871.
En realidá, l'estudiu rigorosu de la construcción total de los númberos reales esixe tener amplios antecedentes de teoría de conxuntos y lóxica matemática. Foi llograda la construcción y sistematización de los númberos reales nel sieglu XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando víes distintes: la teoría de conxuntos de Georg Cantor (encajamientos socesivos, cardinales finitos ya infinitos), per un sitiu, y l'analís matemáticu de Richard Dedekind (vecindaes, redolaes y cortadures de Dedekind). Dambos matemáticos llograron la sistematización de los númberos reales na hestoria, non de manera bonal, sinón utilizando toles meyores previes na materia: dende l'antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Evolución del conceutu de númberu Sábese que los exipcios y babilónicos faíen usu de fracciones (númberos racionales) na resolución de problemes práuticos. Sicasí, foi col desenvolvimientu de la matemática griega cuando se consideró l'aspeutu filosóficu de númberu. Los pitagóricos afayaron que les rellaciones harmóniques ente les notes musicales correspondíen a cocientes de númberos enteros, lo que los inspiró a buscar proporciones numbériques en toles demás coses, y espresar cola máxima «tou ye númberu».
Na matemática griega, dos magnitud son conmensurables si ye posible atopar una tercera tal que les primeres dos sían múltiplos de la postrera, esto ye, ye posible atopar una unidá común pa la que los dos magnitúes tengan una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables.
Sicasí, l'ambiciosu proyeutu pitagóricu taramellóse ante'l problema de midir la diagonal d'un cuadráu, o la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, pos nun ye conmensurable respectu de los catetos. En notación moderna, un triángulu rectángulu que los sos catetos miden 1, tien una hipotenusa que mide raigañu cuadráu de dos, :
Surdió entós un dilema, yá que d'alcuerdu de primeres pitagóricu: tou númberu yera racional, mas la hipotenusa d'un triángulu rectángulu isósceles nun yera conmensurable colos catetos, lo cual implicó que d'equí p'arriba les magnitúes xeométriques y les cantidaes numbériques tendríen que tratase por separáu, fechu que tuvo consecuencies nel desenvolvimientu de la matemática mientres los dos milenios siguientes.
Los griegos desenvolvieron una xeometría basada en comparances (proporciones) de segmentos ensin faer referencia a valores numbéricos, usando diverses teoríes pa remanar el casu de midíes inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Asina, los númberos irracionales permanecieron a partir d'entós escluyíos de l'aritmética yá que namái podíen ser trataos por aciu el métodu d'infinitos aproximamientos. Por casu, los pitagóricos atoparon (en notación moderna) que si ye un aproximamientu a √2 entós = + 2 y = + son tales que ye un aproximamientu más precisu. Repitiendo'l procesu nuevamente llógrense mayores númberos que dan un meyor aproximamientu. Yá que los llargores qu'espresen los númberos irracionales podíen ser llograes por aciu procesos xeométricos senciellos pero, aritméticamente, namái por aciu procesos d'infinitos aproximamientos, anició que mientres 2000 años la teoría de los númberos reales fora esencialmente xeométrica, identificando los númberos reales colos puntos d'una llinia recta.
Nueves meyores nel conceutu de númberu real esperaron hasta los sieglos XVI y XVII, col desenvolvimientu de la notación alxebraica, lo que dexó la manipulación y operación de cantidaes ensin faer referencia a segmentos y llargores. Por casu, atopáronse fórmules pa resolver ecuaciones de segundu y tercer grau de forma mecánica por aciu algoritmos, que incluyíen raigaños ya inclusive, n'ocasiones, «númberos non reales» (lo qu'agora conocemos como númberos complexos). Sicasí, nun esistía entá un conceutu formal de númberu e siguíase dando primacía a la xeometría como fundamentu de tola matemática. Inclusive col desenvolvimientu de la xeometría analítica esti puntu de vista calteníase vixente, pos Descartes refugaba la idea que la xeometría pudiera encontase en númberos, yá que para él la nueva área yera a cencielles una ferramienta pa resolver problemes xeométricos.
Darréu, la invención del cálculu abrió un periodu de grandes meyores matemátiques, con nuevos y poderosos métodos que dexaron per vegada primera atacar los problemes rellacionaos colo infinito por aciu el conceutu de llende. Asina, un númberu irracional pudo ser entendíu como la llende d'una suma infinita de númberos racionales (por casu, la so espansión decimal). Como amuesa, el númberu puede estudiase de forma alxebraica (ensin apelar a la intuición xeométrica) por aciu la serie:
ente munches otres espresiones similares. Aquel día, el conceutu intuitivu de númberu real yera yá'l modernu, identificando ensin problema un segmentu cola midida del so llargor (racional o non). El cálculu abrió'l pasu al analís matemáticu, qu'estudia conceutos como continuidá, converxencia, etc. Pero l'analís nun cuntaba con definiciones rigoroses y munches de les demostraciones apelaben entá a la intuición xeométrica. Esto traxo a una serie de paradoxes ya imprecisiones.
Notación 150px|right Los númberos reales espresar con decimales que tienen una secuencia infinita de díxitos a la derecha de la coma decimal, como por casu 324,8232. Frecuentemente tamién se sub representen con tres puntos consecutivos a la fin (324,823211247…), lo que significaría qu'entá falten más díxitos decimales, pero que se consideren ensin importancia.
Les midíes nes ciencies físiques son siempres un aproximamientu a un númberu real. Non yá ye más concisu escribilos con forma de fracción decimal (esto ye, númberos racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exactu) sinón que, sía que non, suple íntegramente el conceutu y significáu del númberu real. Nel analís matemáticu los númberos reales son oxetu principal d'estudiu. Puede dicise que los númberos reales son la ferramienta de trabayu de les matemátiques de la continuidá, como'l cálculu y l'analís matemáticu, ente que los númberos enteros ser de les matemátiques discretes, nes que ta ausente la continuidá.
Dizse qu'un númberu real ye recursivo si los sos díxitos pueden espresase por un algoritmu recursivo. Un númberu non-recursivo ye aquél que ye imposible d'especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supón que tolos númberos reales son recursivos.
Los ordenadores namái pueden averase a los númberos reales por númberos racionales; de toes formes, dellos programes d'ordenador pueden tratar un númberu real de manera exacta usando la so definición alxebraica (por casu, "") en cuenta del so respeutivu aproximamientu decimal.
Los matemáticos usen el símbolu (o, d'otra forma, , la lletra "R" en negrina) pa representar el conxuntu de tolos númberos reales. La notación matemática referir a un espaciu de dimensiones de los númberos reales; por casu, un valor consiste de tres númberu reales y determina un llugar nun espaciu de tres dimensiones.
En matemática, la pallabra "real" úsase como axetivu, col significáu de que'l campu subxacente ye'l campu de los númberos reales. Por casu, matriz real, función real, y Álxebra de Lie real.
Tipos de númberos reales
Racionales ya irracionales Un númberu real pue ser un númberu racional o un númberu irracional. Los númberos racionales son aquellos que pueden espresase como'l cociente de dos númberos enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, ente que los irracionales son tolos demás. Los númberos racionales tamién pueden describise como aquellos que la so representación decimal ye eventualmente periódica, ente que los irracionales tienen una espansión decimal aperiódica: Exemplos 1/4 = 0,250000... Ye un númberu racional yá que ye periódicu a partir del tercer númberu decimal . 5/7 = 0,7142857142857142857.... Ye racional y tien un periodu de llargor 6 (repite 714285) . ye irracional y la so espansión decimal ye aperiódica . El conxuntu de los númberos racionales designar por aciu .
Alxebraicos y trescendentes Otra forma de clasificar los númberos reales ye en alxebraicos y trascendentes. Un númberu ye alxebraicu si esiste un polinomiu de coeficientes racionales que lo tien por raigañu y ye trascendente en casu contrariu. Obviamente, tolos númberos racionales son alxebraicos: si ye un númberu racional, con p enteru y q natural, entós ye raigañu de la ecuación qx=p. Sicasí, non tolos númberos alxebraicos son racionales. Exemplos El númberu ye alxebraicu yá que ye un raigañu del polinomiu Un exemplu de númberu trascendente ye El conxuntu de los númberos alxebraicos designar por aciu .
Computables y irreductibles Un númberu real dizse computable si tien una complexidá de Kolmogórov finita, esto ye, si puede escribise un programa informáticu d'estensión finita que xenere los díxitos de dichu númberu. Si un númberu real nun ye computable dizse irreductible. Una definición de númberu irreductible ye:
El conxuntu de númberos reales computables designar por . Obviamente los racionales y los alxebraicos son númberos computables. De fechu tiense la siguiente inclusión:
Amás tiense que toos estos conxuntos son numerables:
Esto implica que'l conxuntu de tolos númberos computables ye un conxuntu de teoría de la midida midida nula.
Construcciones del conxuntu de númberos reales
Presentación axomática