Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.
У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:
Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць). Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць. Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).
Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.
Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы. Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.
Магутнасць мноства пазначаецца праз . Часам сустракаюцца абазначэнні , і .
Азначэнне Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік , пры каторым між і можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману.
Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам: азначае, што мноства можна ін'ектыўна адлюстраваць на . Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей і вынікае, што . Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў і выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей або .
Звязаныя азначэнні
Магутнасць мноства натуральных лікаў пазначаецца сімвалам («алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.
Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам . Меркаванне аб тым, што , называецца кантынуум-гіпотэзай.
Прыклады
Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага пры некаторым неадмоўным цэлым . Лік абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі , то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з у (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства і маюць розную магутнасць.
Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў . Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца: Мноства пры любым натуральным . Адпаведнасць: . Мноства . Адпаведнасць: . Мноства цэлых лікаў . Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака). Мноства пар натуральных лікаў . Мноства рацыянальных лікаў ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства (нескарачальнаму дробу выгляду адпавядае пара лікаў . Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.
Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству , называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.
Магутнасць мноства рэчаісных лікаў роўна кантынууму.
Уласцівасці
Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці. Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад . Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства. Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мноства A мае большую моцнасць, чым А, іначай кажучы . З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.
Літаратура
Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.
Катэгорыя:Тэорыя мностваў