thumb|350px|Збяганне паслядоўнасці да ліміту Лімі́т паслядоўнасці — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.
Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна збягаецца да свайго ліміту. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.
Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.
Азначэнне і абазначэнні
Няхай элементы паслядоўнасці належаць тапалагічнай прасторы .
Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту і пішуць
калі для любога наваколля элемента існуе такі нумар , што для ўсіх выконваецца
Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць збе́жнай.
Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.
Сам запіс
можна прачытаць, як «ліміт пры імкненні да бесканечнасці».
Ліміт лікавай паслядоўнасці
Азначэнне Няхай — лікавая паслядоўнасць.
Кажуць, што лікавая паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту і пішуць
калі для любога існуе такі нумар , што для ўсіх справядліва няроўнасць
Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.
Уласцівасці
Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.
Няхай існуюць ліміты і , тады існуюць наступныя ліміты: ліміт сумы роўны суме лімітаў
ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
Калі , то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў . Калі , то ліміт ступені існуе і .
Важныя прыклады
для рэчаісных або камплексных лікаў . для рэчаісных . (Сталая Ойлера — Маскероні) Геаметрычны рад збягаецца да пры і разбягаецца пры Гарманічны рад разбягаецца. Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца
Абагульненні
Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.
Няхай − метрычная прастора, г.зн. — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) , якая адпавядае умовам: , калі і толькі калі ;
для адвольных элементаў мноства .
Няхай — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы .
Пункт называюць лімітам паслядоўнасці пры імкненні да бесканечнасці, калі для любога існуе такі нумар , што для ўсіх спраўджваецца няроўнасць
Гл. таксама Ліміт (матэматыка) Ліміт функцыі
Зноскі
Катэгорыя:Матэматычны аналіз Катэгорыя:Ліміты