Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў але ёсць і істотныя адрозненні.
Агульныя ўласцівасці
Азначэнне і класіфікацыя Фармальнае азначэнне:
Мноства утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў і з’яўляецца яго пашырэннем. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку ёсть таксама гаусаў лік
Кожны лік задавальняе квадратнае ўраўненне:
Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.
Норма Норма для гаусавага ліку вызначаецца як квадрат яго модуля:
Уласцівасці нормы: Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік. Нормы спалучаных лікаў супадаюць. Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату. Калі норма няцотная, то яна мае від , г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду .
Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці:
Адсюль вынікае, што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн.
Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці. Прыклад: гаусавы лікі і асацыіраваныя, бо:
У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.
Тэорыя дзялімасці
Дзяленне цалкам Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам:
Кажуць, што гаусаў лік дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік , калі існуе трэці гаусаў лік такі, што .
Абазначэнне:
Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў, дзеліцца на дзеліць — дзельнік Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае (), дзельнік () і дзель (). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.
Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на , таму што .
Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі.
Дзяленне цалкам у па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў: Калі гаусаў лік дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка Калі і , то гэтыя лікі асацыіраваныя. Калі , то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з . Калі дзеліцца на , то спалучаны да дзялімага ліку дзеліцца на спалучаны да дзельніка Усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на Калі , то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:
Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці У кожнага гаусавага ліку ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем на :
Але дамнажэнне на геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя . Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з , атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя Напрыклад, на рысунку Наадварот, любое кратнае супадае з адным з вузлоў рашоткі.
Простыя гаусавы лікі thumb|Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам) Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі.
Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў: Калі — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік таксама просты. Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў. Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з , заўсёды няцотная і таму мае від
Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у ужо не простыя:
Узаемна простыя лікі Калі гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў і , ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.
Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, і узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.
Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў. Калі кожны з двух гаусавых лікаў узаемна просты з гаусавым лікам то і іх здабытак узаемна просты з Калі і пры гэтым узаемна просты з , то
Крытэрый Гауса Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў .
Гаусаў лік з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі: альбо адзін з лікаў нулявы, а другі — цэлы просты лік віду ; альбо абодва не нулі, і норма — просты натуральны лік.
Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў. Да першай часткі крытэрыя: Да другой часткі крытэрыя: Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве: Лікі, асацыіраваныя з Іх норма роўная 2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду Сам Гаус такога раздзялення не рабіў.
Вынікі. Ніякі просты натуральны лік віду не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі. Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку. Просты натуральны лік віду можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў ці, што тое самае, як суму квадратаў . Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя. Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.
Раскладанне на простыя множнікі У спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў.
Прыклад: Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: так што адназначнасць не парушаецца.
Каб практычна раскласці гаусаў лік на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з ліку.
Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку на простыя натуральныя множнікі. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як . Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія дзеліцца цалкам. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму , але і сам Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік . Адсюль выцякае, што множнік віду уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога — у ступені, удвая меншай. Множнік віду можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.
Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: Згодна з вышэйсказаным, Праверкаю пераконваемся, што дзеліцца толькі на і не дзеліцца на Дзель на роўная таму канчаткова атрымліваем:
Тэорыя параўнанняў
Параўнанні па гаусаваму модулю Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў:
Няхай — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі называюцца параўнальнымі па модулю , калі рознасць дзеліцца (цалкам) на .
Гэта запісваецца так:
Уласцівасці параўнанняў у у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.
Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання . Тады разбіваецца на два класы вылікаў: лікі , у якіх аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю — у другі.
У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:
Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю утрымлівае элементаў. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што дзеліцца на для любога простага і натуральнага . Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі ; напрыклад, для цэлых лікаў заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых , і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам:
Праверым на тым жа прыкладзе з Атрымаем: — дзеліцца на 3.
Назавём клас вылікаў па модулю у якім утрымліваецца лік абарачальным, калі параўнанне
мае рашэнне адносна Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі і узаемна простыя. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў , як і ў утвараюць поле.
Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да », які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне:
Функцыя Эйлера для гаусавага ліку вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю
Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі — просты гаусаў лік, то:
Прыклад:
Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера:
Калі гаусаў лік узаемна просты з модулем то:
Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю