Першаі́сны корань па модулю m ― цэлы лік g такі, што
і пры дзе ― .
Іншымі словамі, першаісны корань — гэта ўтваральны элемент колца вылікаў па модулю m.
Уласцівасці
Існаванне
Першаісныя карані існуюць толькі па модулях віду = 2, 4, , , дзе ― просты лік. Толькі ў гэтых выпадках па модулю з'яўляецца цыклічнаю групаю парадку .
Індэкс ліку па модулю
Для першаіснага кораня g яго ступені g01, g, …, gφ(m)-1 непараўнальныя паміж сабою па модулю і ўтвараюць прыведзеную сістэму рэшт па модулю . Таму для кожнага ліку , узаемна простага з , знойдзецца паказчык ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ , такі што
Такі лік ℓ называецца індэксам ліку па аснове g.
Колькасць
Калі па модулю існуе першаісны корань g, то ўсяго існуе розных першаісных каранёў па модулю , прычым усе іх можна атрымаць як gk, дзе і лік узаемна просты з .
Гісторыя
Першаісныя карані для простых модуляў былі ўведзены Эйлерам, але існаванне першаісных каранёў для любых простых модуляў даказаў толькі Гаус у 1801 годзе.
Прыклады Лік 3 з'яўляецца першаісных коранем па модулю 7. Каб пераканацца ў гэтым, дастаткова кожны лік ад 1 да 6 прадставіць як некаторую ступень тройкі па модулю 7:
Прыклады найменшых першаісных каранёў па модулю (): Модуль 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Першаісны корань 1 2 3 2 5 3 — 2 3 2 — 2 3
Гл. таксама
Літаратура
Спасылкі «Першаісныя карані» на сайце MAXimal
Катэгорыя:Тэорыя лікаў