Теорията на P-адичните числа е разработена от немския математик Курт Хензел през 1897 г. (p-adischen Zahlen). Неговият ученик, руският математик Александър М. Островски, доказва теорема (наречена по-късно на негово име), че множеството на рационалните числа може да се допълни до непрекъснато множество само по два начина – или като се използват ирационални числа, или P-адични числа.
Най-просто казано P-адично число се нарича рационално число, записано с основа просто число, т.е. като редица от остатъци по модул p, където p е просто число.
За основа може да се вземе кое да е просто число (освен 1) (както можем да запишем едно и също цяло число в осмична, 10на, 16на система съответно с основа 8,10,16, така можем да запишем едно реално число в P-адична система с основа 2,3,5 7 и т.н.).
Формалната дефиниция на понятието от теория на числата е: P-адично числоЧете се: пе-адично; съответно: две-адично, три-адично и т.н. дефинира за фиксирано p което е просто число разширение на множеството на рационалните числа. Това разширение е попълване на полето на рационалните числа на база на P-адичната норма, определена на база делимостта на целите числа на p.
Цяло P-адично число за дадено Просто число p се нарича безкрайният ред по модул , където:
За разлика от реалните числа, множеството на P-адичните не е подредено, а геометрията на тяхна основа е не-Архимедова.
Тези числа се оказват извънредно полезни при решаването на някои сложни математически задачи, примерно в теория на числата при оценка решимостта на алгебричните уравнения.
По-късно P-адичните числа намират приложение и в квантовата физика, а разработените на тяхна база ултраметрични пространства на Марк Краснер и аделната формула на Фройнд-Витен – в квантовата механика.
Вижте също Делимост Прости числа Естествени числа Цели числа Рационални числа Ирационални числа Комплексни числа
Източници
Kurt Hensel, Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 6, 1899, 6 (3): 83 – 88. Introduction to p-adic numbers Владимиров B.C., Волович И. В. „Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление“. ТМФ. 1984. Т. 59, № 1. С. 3 – 27; —, —. „Суперанализ, 2. Интегральное исчисление“. ТМФ. 1984. Т. 60, № 2, С. 169 – 198; —, —. „p-Адическая квантовая механика“. Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1988. Т. 302, № 2. С. 320 – 322; engl. version: Vladimirov V.S., Volovich I.V. P-adic quantum mechanics. Commun. Math. Phys. 1989. T. 123, C. 659 – 676; В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов, „p-Адический анализ и математическая физика“, Наука, М., 1994; engl. version: V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, Ye.I. Zelenov, p-Adic Analysis and Mathematical Physics, World Scientific, Singapore, 1993 Khrennikov A. Yu. p-adic valued distributions and their applications to the mathematical physics. Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1994. Volovich IV, p-adic string. Class. Quant. Grav. 1987. V. 4. P. 83 – 87. С. В. Козырев, „Методы и приложения ультраметрического и p-адического анализа: от теории всплесков до биофизики“, Совр. пробл. матем., Вып. 12, МИАН, М., 2008 P. G. O. Freund, E. Witten, Adelic string amplitudes, Phys.Lett. B, 199 (1987), 191 – 194 К. Конрад Видеоуроци – Въведение в p-адическите числа Летняя школа „Современная математика“, 2014 г. Дубна