В геометрията, хипоциклоида е равнинна крива, която се дефинира като геометричното място на фиксирана точка от окръжност, която се търкаля по вътрешната страна на друга окръжност, наречена направляваща, с радиус по-голям от радиуса на първата.
Уравнение Нека търкалящата се окръжност има радиус r, а направляващата окръжност – R. Тогава параметричните уравнения на кривата се задават с:
, където е ъгълът образуван от абсцисната ос и правата минаваща през центровете на двете окръжности.
Нека представим R във вида R = kr. Тогава: ако k е цяло число, то кривата е затворена и има k на брой рогови точки. ако k е рационално число, представимо във вида , p и q са взаимно прости, то кривата е затворена и има p на брой рогови точки. ако k е ирационално число, то кривата никога не се затваря и с графиката си изпълва равнинна пръстеновидна фигура с външен радиус R и вътрешен R – r.
Връзка с други криви Хипоциклоидата е частен случай на хипотрохоида, при която фиксираната точка принадлежи на окръжността. Хипоциклоидата с четири рогови точки е известна като астроида. Еволютата на хипоциклоидата е нейна увеличена версия, а инволютата ѝ – нейна умалена версия.
История Наименованието идва от гръцки, съставено е от "„, „под“ и “", „кръгообразен“. Първата циклоида е разгледана от Албрехт Дюрер в „Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Rychtscheyd“ („Наставление за измерването с пергел и линийка“, 1525). Филип де Лаир извършва първото систематично изследване на хипоциклоидите и епициклоидите, като намира квадратурите им, извършва ректификации и построения на допирателните. По-късно с тези криви се занимават и Леонард Ойлер, Жозеф Алфред Сере, Гаспар Монж и други.
Вижте също Епициклоида Трохоида Хипотрохоида Циклоида
Източници „The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989 „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
Външни препратки Страница за хипоциклоидата на сайта на Система Mathematica Java аплет, изобразяващ хипоциклоидата интерактивно Галерия с епициклоиди и хипоциклоиди
Категория:Криви