miniatura|Fig. 1 – Sistema de coordenades cartesianes. S'han assenyalat quatre punts: (2,3) en verd, (-3,1) en vermell, (-1.5,-2.5) en blau i (0,0), l'origen, en morat. miniatura|Fig. 2 – Sistema de coordenades cartesianes amb la circumferència de radi 2 centrada a l'origen dibuixada en vermell. L'equació del cercle és .
En matemàtiques, el sistema de coordenades cartesianes (anomenat també sistema de coordenades rectangulars) es fa servir per a determinar unívocament cada punt del pla a través de dos nombres reals anomenats habitualment la coordenada x o abscissa i la coordenada y o ordenada del punt.
Per a definir les coordenades d'un punt qualsevol, cal especificar prèviament diversos elements. En primer lloc es fixa un punt del pla, dit origen de coordenades; tot seguit es prenen dues rectes perpendiculars (l'eix x o eix d'abscisses, i l'eix y o eix d'ordenades) que es creuen a l'origen, i a cada una de les quals s'assigna una direcció considerada positiva o creixent; finalment cal especificar una unitat de longitud, que es marca sobre els dos eixos (vegeu figura 1). Els sistemes de coordenades cartesianes s'estenen de manera anàloga a l'espai de tres dimensions i a espais de dimensions superiors.
Fent servir els sistemes de coordenades cartesianes, les formes geomètriques (com ara les corbes) es poden descriure amb equacions algebraiques, les equacions que són satisfetes pels punts que pertanyen a la forma geomètrica. Per exemple, el cercle de radi 2 es pot descriure amb l'equació (vegeu figura 2).
Història miniatura|Gràfica d'una hipèrbola i de les seves asímptotes. L'adjectiu cartesianes fa referència al matemàtic i filòsof francès René Descartes (en llatí Renatus Cartesius), qui, entre altres coses, va treballar per a fusionar l'àlgebra i la geometria euclidiana. Aquest treball va influir en el desenvolupament de la geometria analítica, el càlcul infinitesimal i la cartografia.La idea d'aquest sistema va ser desenvolupada independentment el 1637 en dos escrits per Descartes i per Pierre de Fermat, tot i que Fermat no va publicar el descobriment.
Tant Descartes com Fermat van utilitzar un únic eix en els seus estudis i van utilitzar una longitud variable mesurada en referència a aquest eix. A la seva obra La Geometria, introdueix el concepte de coordenades cartesianes. El conecpte d'utilitzar un parell d'eixos es va intorduir doncs, més tard, després que aquest llibre de Descartes fos traduït al llatí l'any 1649 per Frans van Schooten i els seus alumnes. Aquests comentaristes van introduir diversos conceptes mentre intentaven esclarir les idees que formaven part de l'obra de Descartes..
El desenvolupament del sistema de coordenades cartesianes va jugar un paper fonamental en la concepció del càlcul per part d'Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz.Un recorrido por el cálculo, David Berlinski. La descripció del pla en dues coordenades es va generalitzar posteriorment en el concepte de espais vectorials.
Des de Descartes, s'han desenvolupat molts altres sistemes de coordenades, com les coordenades polars per al pla, i les coordenades esfèriques i les coordenades cilíndriques per a l'espai tridimensional.
Sistema cartesià Sistema de coordenades de dues dimensions miniatura|Fig. 3 – Els quatre quadrants d'un sistema de coordenades cartesià. Les fletxes als eixos indiquen que s'estenen indefinidament en les seves respectives direccions (és a dir infinitament).
Un sistema de coordenades cartesianes de dues dimensions es defineix habitualment amb dos eixos perpendiculars entre si formant un pla (el pla xy). L'eix horitzontal es diu normalment eix x, i l'eix vertical s'anomena normalment eix y. En un sistema de coordenades de tres dimensions, s'afegeix un altre eix, anomenat normalment eix z, que subministra una tercera dimensió de mesura de l'espai. Els eixos normalment es defineixen de forma que siguin mútuament ortogonals (formen un angle recte entre ells). (Els primers sistemes permetien eixos "oblics", és a dir, eixos que no es tallaven formant angles rectes, aquesta mena de sistemes encara es fan servir ocasionalment avui en dia, tot i que principalment com a exercicis teòrics.) Tots els punts d'un sistema de coordenades cartesianes considerats com a conjunt formen el pla cartesià. De les equacions que fan servir el sistema de coordenades cartesianes se'n diu equacions cartesianes.
Del punt d'intersecció, on es troben els eixos, se'n diu l'''origen normalment s'etiqueta amb una O. Els eixos x i y defineixen un pla, del que es diu que és el pla xy. Donat un eix, es tria una unitat de longitud, i es marca la unitat repetidament damunt de l'eix, formant una graella. Per a especificar un punt particular en un sistema de coordenades de dues dimensions, s'indica primer la unitat x (abscissa), seguida de la unitat y (ordenada) de forma (x,y), una parella ordenada.
La tria de les lletres ve de la convenció de fer servir les últimes lletres de l'abecedari per a indicar variables incògnites. Per contra la primera part de l'abecedari es fa servir per designar constants conegudes.
A la Figura 3 s'indica un exemple d'un punt P, fent servir les coordenades (3,5).
La intersecció dels dos eixos crea quatre regions, anomenades quadrants, que s'indiquen amb els nombres romans I (+,+), II (−,+), III (−,−), and IV (+,−). Per convenció, s'etiqueten en sentit contrari de les agulles del rellotge començant a partir del de dalt a la dreta ("nord-est"). En el primer quadrant, totes dues coordenades són positives, en el segon quadrant les coordenades x són negatives i les coordenades y són positives, al tercer quadrant totes dues coordenades són negatives i al quart quadrant, les coordenades, x són positives i les coordenades y són negatives (vegeu la taula de més avall.)Cartesian coordinates. Britannica Coordenada Primer quadrant (I) Segon quadrant (II) Tercer quadrant (III) Quart quadrant (IV) x + - - + y + + - - Sistema de coordenades tridimensional miniatura|Fig. 4 – Sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix y allunyant-se de l'observador.
miniatura|Fig. 5 - Sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix x apuntant cap a l'observador..
miniatura|Les superfícies coordenades de les coordenades cartesianes (x, y, z). L'eix z és vertical i l'eix x s'ha ressaltat de verd. Així, el pla vermell mostra els punts amb x=1, al pla blau mostra els punts amb z=1, i el pla groc mostra els punts amb y=-1. Les tres superfícies s'intersequen al punt P (que es presenta com una petita esfera negra) al que li corresponen les coordenades cartesianes (1.0, -1.0, 1.0).
El sistema de coordenades cartesianes tridimensional permet determinar les tres dimensions de l'espai — llargada, amplada, i alçada. Les Figures 4 i 5 mostren dues formes habituals de representar-lo.
Els tres eixos que defineixen el sistema són perpendiculars entre si. Les coordenades dels punts s'expressen de la forma (x,y,z). Com a exemple, la figura 4 mostra dos punts dibuixats en un sistema de coordenades cartesianes tridimensional: P(3,0,5) i Q(−5,−5,7). Els eixos es representen en l'orientació de les "coordenades universals" amb l'eix z senyalant cap amunt.
Les coordenades x-, y-, i z d'un punt, també es poden interpretar com les distàncies als plans yz, xz, i xy respectivament. La Figura 5 mostra les distàncies del punt P als plans.
Els plans xy, yz, i xz divideixen l'espai tridimensional en vuit regions conegudes com a octants, de forma similar als quadrants de l'espai de dues dimensions. Mentre que hi ha convencions establertes per etiquetar els quatre quadrants del pla x-y, en l'espai tridimensional només s'etiqueta el primer octant. Aquest primer octant conté tots els punts que tenen les coordenades x, y, i z positives totes tres.
Coordenades cartesianes en dimensió n Les seccions precedents construeixen les coordenades cartesianes a base d'establir una relació entre parelles o triplets de nombre reals i punts del pla o de l'espai. Aquesta relació es generalitza a qualsevol espai vectorial o afí de dimensió finita sobre un cos K.
Si és una base d'un espai vectorial sobre un cos K llavors, per a tot vector , existeix una única n-upla element de Kn tal que :
.
D'aquesta n-upla se'n diu coordenades cartesianes del vector en la base ). La correspondència entre els vectors i les n-uples permet de construir un isomorfisme d'espais vectorials entre V i Kn.
Per treballar amb sistemes de coordenades de punts, n'hi ha prou d'afegir a la base precedent un punt O anomenat origen. Les coordenades d'un punt qualsevol M seran les del vector .
Finalment, per poder treballar amb distàncies, caldrà construir una base ortonormal (aquella en la qual tots els vectors són de norma 1 i cada un és ortogonal a tots els altres). La distància OM llavors s'expressa de la forma següent:
En el cas de sistemes de quatre dimensions les coordenades s'acostumen a anomenar (x,y,z,t).
Representació d'un vector en la base natural Un punt en un sistema de coordenades cartesianes també es pot representar com un vector, el qual es pot pensar com una fletxa que va des de l'origen del sistema de coordenades fins al punt. Si les coordenades representen posicions a l'espai (desplaçaments) és habitual de representar el vector des de l'origen al punt d'interès com . En tres dimensions, el vector des de l'origen fins al punt de coordenades cartesianes de vegades s'escriu com:
on , , i són vectors unitaris que apunten en les mateixes direccions que els eixos , , i , respectivament. Aquesta és la representació amb un quaternió del vector, i va ser introduïda per Sir William Rowan Hamilton. Dels vectors unitaris , , i se'n diu versors del sistema de coordenades, i són els vectors de la base estàndard en tres dimensions.
Canvi del sistema de coordenades Fer un canvi de sistema de coordenades és canviar els valors de les coordenades que representen un punt en un determinat sistema de coordenades per tal que expressin el mateix punt en un altre sistema de coordenades. O en general canviar les equacions que representen una determinada figura geomètrica en un determinat sistema de coordenades per tal que representin la mateixa figura geomètrica en un altre sistema de coordenades. Vegeu la Llista de transformacions canòniques de coordenades per canvis entre diferents tipus de sistemes de coordenades. En el cas de dos sistemes de coordenades cartesianes, tant en el cas pla com tridimensional, es poden considerar dos canvis: Translació (de l'origen) i Rotació (entorn un eix). En el cas de sistemes tridimensionals també es pot plantejar la simetria especular respecte d'un pla.
Translació de l'origen A partir d'un sistema de coordenades inicial S1 amb origen a O i eixos x e y
SI les coordenades d'un punt A donat, Al sistema S1 són:
Es tracta de trobar les coordenades de A en un altre sistema de referència S2
Tal que els eixos dels dos sistemes (x, x´; y y, y´) són paral·lels dos a dos i les coordenades de O´, respecte de S1 són:
Les coordenades de A en S2 s'anomenaran:
Es planteja la següent equació vectorial (vegeu figura de la dreta):
Operant
Per tant:
I ampliant-ho a tres dimensions:
Rotació entorn de l'origen frame|Rotació entorn a l'origen en coordenades cartesianes
A partir del sistema de coordenades pla S1 amb origen O i eixos x i y:
Es pren una base ortonormal:
Tal que en aquest sistema sigui , llavors, un punt qualsevol A del pla, es pot escriure emprant la base ortonormal:
Per a un segon sistema S2 tal que està girat un angle , respecte del primer:
Com que la base ortonormal del primer sistema expressada en aquest segon es:
El punt A és:
I operant resulta:
Per tant:
Que són les coordenades de A en B2, en funció de les coordenades de A en B1 y de .
Orientació i quiralitat En dues dimensions miniatura|La regla de la mà dreta.