miniatura|Joseph Wedderburn demostrà l'última conjectura sobre els cossos finits el 1905
En matemàtiques i més precisament en la branca de la teoria de Galois, un cos finit, anomenat també cos de Galois és un cos el cardinal del qual és finit (té un nombre finit d'elements). Tret d'isomorfismes, tot cos finit queda completament determinat pel seu cardinal que és sempre de la forma pn, una potència d'un nombre primer. Aquest nombre primer no és altre que la seva característica (el nombre més petit de vegades que s'ha de sumar l'element neutre de la multiplicació per a obtenir l'element neutre de la suma) i el cos es presenta com l'única extensió finita del cos primitiu Z/p de dimensió n.
Les aplicacions són essencialment la teoria de nombres algebraics on els cossos finits apareixen com una estructura essencial per a la geometria aritmètica. Aquesta branca ha permès, entre altres coses, demostrar l'últim teorema de Fermat. Els cossos finits s'utilitzen sovint en criptografia i en teoria dels codis, per exemple, per determinar codis correctors eficaços.
Observació sobre la terminologia: quan l'àlgebra abstracta va començar a ésser desenvolupada, la definició de cos normalment no incloïa la commutativitat de la multiplicació, així el que avui s'anomena cos fa un temps hauria estat anomenat cos commutatiu o domini racional. Avui en dia però, un cos és sempre commutatiu. Una estructura que satisfaci totes les propietats d'un cos llevat de la commutativitat, s'anomena avui anell de divisió encara que cos no commutatiu és encara força usat. Altres llengües han mantingut aquesta antiga notació. Així per exemple, en italià i francès, els anells de divisió se'ls anomena corpo i corps. En canvi, en anglès, alemany i espanyol, field, Körper (d'aquí ve que denoti normalment un cos) i cuerpo signifiquen cos. Cal remarcar que en francès no hi ha una paraula concreta per designar un cos, amb la qual cosa s'ha d'usar la forma corps commutatif.N. Bourbaki Algèbre commutative. Chapitre 5 Hermann 1964 En italià existeix també la forma campo que es tradueix exactament per la nostra noció de cos. En el cas dels cossos finits, aquesta observació, de fet, té poca importància, ja que, segons el teorema de Wedderburn, tot cos finit és commutatiu. Aquest resultat es demostra amb l'ajuda dels polinomis ciclotòmics.
Història Teoria miniatura|Ferdinand Georg Frobenius La teoria general dels cossos apareix de manera inicial durant la segona meitat del . Richard Dedekind (1831-1916) inventa el terme alemany de Körper,Richard Dedekind, Lechbuch des Algebra 1871. terme que encara es fa servir avui, la traducció catalana del qual és cos. Una primera definició és a l'obra de Heinrich Weber (1842-1913).Heinrich Weber, Lechbuch der Algebra 1895. La definició axiomàtica moderna és deguda a Ernst Steinitz (1871-1928) i data de 1910.
Els treballs de Frobenius (1849-1917) marquen el començament de la utilització dels cossos finits no primers. Semblen necessaris per a la resolució de qüestionsFerdinand Georg Frobenius, Sur le caractère du groupe, Académie de Berlin, 1896. sobre la teoria de les representacions d'un grup finit. L'endomorfisme de Frobenius permet aplicar la teoria de Galois a aquestes estructures. La teoria es mostra eficaç en el cas commutatiu. L'existència, el cardinal i l'estructura dels cossos finits queden determinats ràpidament. Això fa que es vegi que els termes cos de Galois i cos finit són de fet sinònims.
L'estudi sistemàtic dels cossos finits comença amb el , amb els treballs de Leonard Dickson (1874-1954) i després de Joseph Wedderburn (1882-1948). Dickson publicàLeonard Dickson, Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory, 1901. la primera classificació dels cossos finits commutatius, on s'explicita l'estructura de l'anell dels polinomis associat. La qüestió del cas no commutatiu era en aquells moments l'objecte d'una conjectura: no existeix cap cos finit no commutatiu. Wedderburn es queda a la Universitat de Chicago el 1904 i treballa en estreta col·laboració amb Dickson. A la seva tornada, l'any següent, demostra la conjectura que esdevé el teorema de Wedderburn, anomenat així en el seu honor.
Des d'aquesta època, la teoria pròpiament dita ja no comporta cap problema obert. En canvi, les aplicacions, tant teòriques com pràctiques, abunden durant tot el .
Aplicacions teòriques Els cossos finits es fan servir, especialment, en aritmètica. Contribueixen per exemple al fonament de l'aritmètica modular. Varen permetre a Gauss (1777-1865) demostrarCarl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801. la llei de reciprocitat quadràtica. L'estructura de cos intervé sobretot en la resolució d'equacions diofàntiques (vegeu l'apartat equació diofàntica). El petit teorema de Fermat n'és un exemple arquetípic.
Artin (1898-1962) utilitza el fet que un context natural de les lleis de reciprocitat és el dels cossos finits. És una de les eines que li permeten resoldre el novè problema de Hilbert. Inicia l'anàlisi de l'equivalent de la Funció zeta de Riemann sobre els cossos finits. La geometria aritmètica es generalitza sobre estructures finites. Aquest enfocament és particularment actiu durant la segona meitat del . André Weil (1906-1998) generalitza el pas a les corbes algebraiques i Pierre Deligne (nascut el 1944), a les varietats algebraiques. Les conjectures de Weil sobre les varietats sobre cossos finits, enunciades el 1940 per André Weil, formen part dels problemes importants d'aquesta època. Demostrades el 1974, obren la via a la demostració del teorema de Taniyama-Shimura per part d'Andrew Wiles, que té per conseqüència l'últim teorema de Fermat.
Aplicacions pràctiques miniatura|Voyager 2 utilitza el codi Reed-Solomon basat en la teoria dels cossos finits per a les comunicacions. Després de la Segona Guerra mundial i per a les necessitats de la societat, Claude Shannon (1916-2001) formalitza la teoria de la informació com una branca de les matemàtiques,Claude Shannon A mathematical theory of communication Bell System Technical Journal, vol. 27, p. 379-423 i 623-656, juliol i octubre del 1948. formulant les problemàtiques de la seguretat i de la fiabilitat.Claude Shannon Communication Theory of Secrecy Systems Bell System Technical Journal, Vol 28, p. 656-715, Oct 1949
La criptografia es recolza en la possibilitat de generar ràpidament nombres primers grans. La confidencialitat d'un missatge s'assegura per la incapacitat actual per descompondre enters, és a dir d'efectuar un algorisme que permeti descompondre un nombre en factors primers en un temps raonable. Una investigació activa intenta crear nous algorismes que vagin en aquest sentit. Així, Michael Rabin (nascut el 1931) publicàMichael Rabin, Probabilistic Algorithm for Testing Primality J. Number Th. 12, 128-138, 1980 un test de primalitat basant-se en les propietats del grup multiplicatiu dels cossos primers.
La fiabilitat tracta de la capacitat per transmetre sense error un missatge malgrat alteracions en la comunicació. La teoria dels codis correctors tracta les tècniques per aconseguir-ho. El 1950, Richard Hamming (1915-1998) treballa per als laboratoris Bell amb Shannon sobre aquest tema. Fa servirRichard Hamming Error-detecting and error-correcting codes Bell Syst. Tech. J. 29 pp 147 à 160 1950 els espais vectorials de dimensió finita sobre cossos finits per formalitzar un marc operacional de la teoria i trobar els primers exemples de codis correctors òptims. Aquest enfocament dona a llum la teoria dels codis lineals.
El 1960, dos matemàtics, R. C. Bose, D. K. Ray-Chaudhuri, demostrenR. C. Bose and D. K. Ray-Chaudhuri On a class of error-. correcting. binary group codes Inform. Control, vol. 3, p. 68-79, Mars 1960 que ideals de l'anell dels polinomis sobre els cossos finits de característica dos resulten particularment adequats per aquesta finalitat. La teoria és generalitzadaA. Hocquenghem Codes correcteurs d'erreurs Chiffre 1959 pel matemàtic A. Hocquenghem i dona a llum la família de codis BCH. Els altres dos fundadors de la teoria, I. Reed i G. Solomon enriqueixen el mètodeI. Reed G. Solomon Polynomial codes over certain finite fields J. Soc. Indus. Appl Math Vol 8 n° 2 pp 300 à 304 1960 i creen codis en condicions de resistir grans alteracions, els codis de Reed-Solomon. Les aplicacions més conegudes són probablement el sistema de comunicació de certes sondes de la NASA com la Voyager o els discs compactes. Durant els anys de la dècada del 1970 els resultats d'aritmètica avançats sobre les corbes el·líptiques dels cossos finits, troben la seva aplicació,V.D. Goppa Codes associated with divisors Problems of Information Transmission, 12(1):22--27, 1977 per exemple, amb els codis de Goppa.
La teoria dels codis correctors ara es considera com una branca de la dels cossos finits.
Exemples El cos més petit El cos finit més petit no trivial, notat (, +, .) o més simplement F₂ té dos elements diferents, és a dir l'element neutre per a l'addició 0 i l'element neutre per a la multiplicació 1. Heus aquí la definició dels operacions «+» i «.» sobre aquest cos: + 0 1 0 0 1 1 1 0 . 0 1 0 0 0 1 0 1
Cos primers i extensions Com que Z és un anell euclidià principal, tot ideal I s'escriu de manera única sota la forma I = n.Z on n s'anomena el generador positiu de I. Per definició, és el nombre natural més petit no nul que no pertany a I. Només les estructures quocients obtingudes a partir de Z són doncs els anells commutatius unitaris Z/n.Z.
Aquests anells donen els primers exemples de cossos finits:
L'anell Z/nZ és un cos si i només si n és un nombre primer. En efecte, aquesta proposició és una conseqüència directa de la identitat de Bézout. Suposem n primer, llavors si a és un enter primer amb n, és a dir que el màxim comú divisor entre a i n és 1 (altrament dit, a i n són coprimers), existeixen dos enters b i c tals que:
La qual cosa significa que la classe da és invertible i la seva inversa és la classe de b (fixeu-vos que tots els múltiples de n formen la classe del 0).
Recíprocament, si n no és pas primer, existeixen dos enters a i b diferents de n i d'1 tals que el seu producte és igual a n. La classe da així com la classe de b són dels divisors de zero, la qual cosa no pot ser en un cos.
Una qüestió important serà la de l'estructura del grup multiplicatiu dels cossos finits. Aquí:
Si p és primer, llavors el grup dels invertibles Z/p.Z* és un grup cíclic d'ordre p - 1.
Es veurà a més que aquests exemples són de fet els únics exemples de cossos finits de cardinal un nombre primer, i també que tot cos finit es pot obtenir per extensió algebraica a partir d'un d'aquests cossos. Si p és un nombre primer, Fp designa el cos Z/p.Z.
Existeixen polinomis irreductibles P[X] de Fp [X] tals que el quocient Fp [X]/(P[X]) de l'anell dels polinomis Fp [X] per l'ideal principal engendrat per tal polinomi irreductible P(X) sigui un cos finit (commutatiu). Conté estrictament el cos primer d'ordre p, si el polinomi no és de grau 1. Aquest cos no és altre que un cos de ruptura del polinomi: la classe de X subministra a una arrel de P.
Per exemple, per a p=2, el polinomi 1+X+X² és irreductible en F₂ [X] (és l'únic polinomi irreductible de grau 2). L'extensió corresponent és un cos notat F₄. Aquest cos té exactament 4 elements que són 0, 1, i les dues arrels x i x+1 de 1+X+X². Les seves lleis additiva i multiplicativa venen donades tal com segueix: + 0 1 x x+1 0 0 1 x x+1 1 1 0 x+1 x x x x+1 0 1 x+1 x+1 x 1 0 . 0 1 x x+1 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 x 0 x x+1 1 x+1 0 x+1 1 x