Lestocàstica és una disciplina de la matemàtica que combina la teoria de la probabilitat i l'estadística matemàtica per estudiar fenòmens aleatoris. Un procés estocàstic és aquell que té un comportament no determinista. És a dir, un estat no determina plenament el següent o proper estat. Estocàstic i aleatori són conceptes tècnicament diferents: el primer es refereix a un enfocament de modelització, mentre que el segon descriu fenòmens. A la conversa quotidiana aquests termes sovint s'utilitzen indistintament, però convé no confondre'ls. En teoria de la probabilitat, el concepte formal d'un procés estocàstic també es coneix com a procés aleatori.

Lestocàstica s'utilitza en molts camps diferents, com ara el processament d'imatges, el processament de senyals, la informàtica, la teoria de la informació i les telecomunicacions, química, ecologia, neurociència, física, o la criptografia. També s'utilitza en finances (per exemple, oscil·lador estocàstic), a causa de canvis aparentment aleatoris en els diferents mercats dins del sector financer i en medicina, lingüística, música, mitjans de comunicació, teoria del color, botànica, indústria manufacturera i geomorfologia.

Etimologia El terme prové de l'adjectiu del grec antic στοχαστικος, stochastikos (“hàbil apuntant", especialment referit als arquers), que va derivar en el significat de "conjectural". Al seu torn, l'adjectiu prové de στόχος, stóchos ("diana" o "suposició").

L'Oxford English Dictionary cita l'any 1662 com la seva primera aparició en el sentit actual. A la seva obra sobre probabilitat Ars Conjectandi, publicada originalment en llatí el 1713, el matemàtic suís Jakob Bernoulli va utilitzar la frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", que s'ha traduït com "l'art de conjecturar o estocàstica". Aquesta frase va ser utilitzada, amb referència a Bernoulli, per Ladislaus Bortkiewicz, qui el 1917 va escriure en alemany la paraula Stochastik amb un sentit que significa aleatori. El terme procés estocàstic va aparèixer per primera vegada en anglès en un article de 1934 de Joseph L. Doob. Per al terme i una definició matemàtica específica, Doob va citar un altre article de 1934, on Aleksandr Khinchin utilitzava el terme stochastischer Prozeß en alemany, tot i que el terme alemany ja havia estat utilitzat anteriorment el 1931 per Andrey Kolmogorov.

Exemples Les situacions estocàstiques són sistemes complexos on els seus practicants, encara que siguin experts complets, no en poden garantir l'èxit. Per exemple, en medicina n'és un cas clàssic el del doctor que pot administrar el mateix tractament a múltiples pacients que pateixen els mateixos símptomes sense obtenir en tots una reacció completament igual. Això fa de la medicina un procés estocàstic. Altres exemples de processos estocàstics són un projecte arquitectònic, la guerra, la meteorologia o la retòrica, on no es poden pronosticar de manera segura els èxits i fracassos.

En matemàtiques, específicament en la teoria de la probabilitat, els processos estocàstics han estat una àrea d'investigació essencial durant dècades. Sovint es relacionen amb l'estadística. Però això és una equivocació, atès que en l'estocàstica s'utilitzen sovint també sistemes físics. L'estocàstica, per tant, no estudia el mateix que l'estadística.

Matriu estocàstica Una matriu estocàstica és una matriu que té nombres reals no negatius i on cada fila suma 1.

Creativitat Simonton (2003, Psych Bulletin) argumenta que la creativitat en la ciència (és a dir, dels científics) és un comportament estocàstic restringit, de manera que les noves teories en totes les ciències són, almenys en part, el producte d'un procés estocàstic.

Música

En música, els processos matemàtics basats en la probabilitat poden generar elements estocàstics. Els processos estocàstics es poden utilitzar en música per compondre una peça fixa o es poden produir en una interpretació. La música estocàstica va ser iniciada per Iannis Xenakis, qui va encunyar el terme música estocàstica. Exemples específics de matemàtiques, estadística i física aplicades a la composició musical són l'ús de la mecànica estadística dels gasos a Pithoprakta, la distribució estadística de punts en un pla a Diamorphoses, les restriccions mínimes a Achorripsis, la distribució normal a ST/10 i Atrées, les cadenes de Markov a Analogiques, la teoria de jocs a Duel i Stratégie, la teoria de grups a Nomos Alpha (per a Siegfried Palm), la teoria de conjunts a Herma i Eonta, i el moviment brownià a N'Shima. Xenakis va utilitzar sovint ordinadors per produir les seves partitures, com ara la sèrie ST que inclou Morsima-Amorsima i Atrées, i va fundar el CEMAMu.

El compositor alemany Karlheinz Stockhausen va contribuir pionerament a la música estocàstica a mitjans de la dècada de 1950, formulant criteris “estadístics” de composició inspirats en els seus estudis amb Werner Meyer-Eppler, que se centraven en processos probabilístics i transicions sonores en lloc de determinisme estrictament serial. Aquesta aproximació va evolucionar des del seu serialisme inicial i la música puntual (com Klavierstücke I–IV), passant cap a tècniques de “composició grupal” i estadística, on el focus era el moviment sonor i els canvis d’estat, oposats a l’estatisme. Stockhausen va ser clau en el seu desenvolupament dins del context del serialisme integral i la música concreta, influint en la música electroacústica i experimental posterior. Les seves innovacions van obrir camins a la improvisació electrònica i intuitiva, amb obres com Gesang der Jünglinge exemplificant transicions controlades.

Anteriorment, John Cage i altres havien compost música aleatòria o indeterminada, que es crea per processos aleatoris però no té una base matemàtica estricta (la Music of Changes de Cage, per exemple, utilitza un sistema de gràfics basat en l'I-Ching). Lejaren Hiller i Leonard Issacson van utilitzar gramàtiques generatives i cadenes de Màrkov a la seva Suite Illiac de 1957. Les tècniques modernes de producció de música electrònica fan que aquests processos siguin relativament senzills d'implementar, i molts dispositius de maquinari com ara sintetitzadors i caixes de ritmes incorporen funcions d'aleatorització, de maneta que les tècniques de música generativa són fàcilment accessibles per a compositors, intèrprets i productors.

Reproducció substractiva del color Quan es fan reproduccions en color, la imatge se separa en els seus colors components fent múltiples fotografies filtrades per a cada color. Una pel·lícula o placa resultant representa cadascuna de les dades de cian, magenta, groc i negre. La impressió en color és un sistema binari, on la tinta hi és present o no, de manera que totes les separacions de color que s'han d'imprimir s'han de traduir en punts en algun moment del flux de treball. Les trames de línies tradicionals que estan modulades per amplitud tenien problemes amb el moaré, però es van utilitzar fins que la trama estocàstica va estar disponible. Un patró de punts estocàstic (o de freqüència modulada) crea una imatge més nítida.

Referències

Categoria:Probabilitat Categoria:Processos estocàstics