miniatura|El dodecàedre ròmbic és un dels 13 sòlids de Catalan. En geometria, un sòlid de Catalan, o sòlid arquimedià dual és un políedre dual d'un sòlid arquimedià. Els sòlids de Catalan prenen el nom en honor del matemàtic belga Eugène Charles Catalan, qui els va descriure per primer cop el 1865.
Propietats Cares uniformes Tots els sòlids de Catalan són convexos. Com que els sòlids arquimedians tenen els vèrtexs uniformes, i la dualitat intercanvia el paper dels vèrtexs i les cares, els de Catalan tenen les cares uniformes: per a cada parella de cares, hi ha una simetria del sòlid que transforma que trasllada la primera sobre la segona. Per altra banda, com que els sòlids arquimedians no són uniformes respecte de les cares, els de Catalan no ho són respecte dels vèrtexs: de fet hi ha vèrtexs amb diferents plans incidents.
A diferència dels sòlids platònics i dels sòlids arquimedians, les cares dels sòlids de Catalan no són polígons regulars. Tanmateix els polígons que sorgeixen de truncar els vèrtexs són polígons regulars i presenten angles díedres iguals. A més, dos dels sòlids de Catalan, el dodecàedre ròmbic i el triacontàedre ròmbic són uniformes respecte de les arestes.
Quiralitat Igual que per als seus duals els sòlids arquimedians, hi ha dos sòlids de Catalan amb quiralitat: l'icositetràedre pentagonal i l'hexacontàedre pentagonal. Són sòlids que no són equivalents a la seva imatge especular.
Els sòlids A la taula, els grups de simetria Oh, Ih i Td són respectivament el grup de simetria de l'octaedre, icosaedre i tetraedre. Els grups O i I són respectivament els subgrups d'Oh i Ih formats per les simetries que preserven l'orientació.
Nom Imatge Desenvolupament pla Dual (sòlids arquimedians) Cares Arestes Vèrtex Polígons que formen les caes Simetria Tetràedre triakis 80px|Triakis tetrahedron 80px|Desenvolupament pla del tetràedre triakis Tetràedre truncat 12 18 8 Triangle isòscelesV3.6.6 Td Dodecàedre ròmbic 80px|Rhombic dodecahedron 80px|Dodecàedre ròmbic Cuboctàedre 12 24 14 RombeV3.4.3.4 Oh Octàedre triakis 80px|Triakis octahedron 80px|Desenvolupament pla de l'octàedre triakis Cub truncat 24 36 14 Triangle isòscelesV3.8.8 Oh Cub tetrakis 80px|Tetrakis hexahedron 80px|Desenvolupament pla del Cub tetrakis Octàedre truncat 24 36 14 Triangle isòscelesV4.6.6 Oh Icositetràedre trapezoïdal 80px|Deltoidal icositetrahedron 80px|Desenvolupament pla de l'icositetràedre trapezoïdal Rombicuboctàedre 24 48 26 TrapezoideV3.4.4.4 Oh Octàedre hexakis 80px|Disdyakis dodecahedron 80px|Desenvolupament pla de l'octàedre hexaquis Cuboctàedre truncat 48 72 26 Triangle escalèV4.6.8 Oh Icositetràedre pentagonal 40px|Pentagonal icositetrahedron (Ccw)40px|Pentagonal icositetrahedron (Cw) 80px|Desenvolupament pla de l'icositetràedre pentagonal Cub xato 24 60 38 Pentàgon irregularV3.3.3.3.4 O Triacontàedre ròmbic 80px|Rhombic triacontahedron 80px|Desenvolupament pla del triacontàedre ròmbic Icosidodecàedre 30 60 32 RombeV3.5.3.5 Ih Icosàedre triakis 80px|Triakis icosahedron 80px|Desenvolupament pla de l'icosàedre triakis Dodecàedre truncat 60 90 32 Triangle isòscelesV3.10.10 Ih Dodecàedre pentakis 80px|Pentakis dodecahedron 80px|Desenvolupament pla del dodecàedre pentakis Icosàedre truncat 60 90 32 Triangle isòscelesV5.6.6 Ih Hexacontàedre trapezoïdal 80px|Deltoidal hexecontahedron 80px|Desenvolupament pla de l'hexacontàedre trapezoïdal Rombicosidodecàedre 60 120 62 Pentàgon irregularV3.4.5.4 Ih Icosàedre hexakis 80px|Disdyakis triacontahedron 80px|Desenvolupament pla de l'icosàedre hexakis Icosidodecàedre truncat 120 180 62 Triangle escalèV4.6.10 Ih Hexacontàedre pentagonal 40px|Pentagonal hexecontahedron (Ccw)40px|Pentagonal hexecontahedron (Cw) 80px|Desenvolupament pla de l'hexacontàedre pentagonal Dodecàedre xato 60 150 92 Pentàgon irregularV3.3.3.3.5 I
Enllaços externs
Políedres I Pàgina 25 Catalan Solid a MathWorld Archimedean duals – a Virtual Reality Polyhedra
Referències