miniatura|El dual d'un tetràedre és ... un tetràedre! miniatura|Successió de Truncaments que passa des d'un cub fins al seu octàedre dual. En geometria, el políedre dual d'un políedre P és un políedre Q, obtingut mitjançant l'intercanvi dels papers dels vèrtexs i les cares de P. El dual de Q és altre cop P.
Si P i Q tenen la mateixa estructura combinatòria, P s'anomena autodual. Entre els 5 sòlids platònics, el tetràedre és autodual, mentre que el cub i l'octàedre són d'un dual de l'altre, igual com licosàedre i el dodecàedre també són duals l'un de l'altre.
El dual d'un sòlid arquimedià és un sòlid de Catalan.
Definicions No existeix una definició unívoca de políedre dual que funcioni per a tots els políedres. Hi ha dues nocions, una combinatòria i l'altra mètrica, que en general coincidixen en els poliedres més regulars.
Dualitat combinatòria Des del punt de vista combinatori, dos poliedres i són duals si existeix una correspondència biunívoca entre els conjunts de vèrtex, arestes i cares de i que inverteix les adjacències. Més precisament: associa respectivament a un vèrtex, aresta o cara de una cara, aresta o vèrtex de ; Una cara de incideix en una aresta si i només si l'aresta incideix en el vèrtex ; viceversa, una aresta incideix en un vèrtex de si i només si la cara incideix en . Aquesta dualitat s'anomena dualitat combinatòria. La dualitat combinatòria no té en compte les mides dels políedres, és a dir el seu volum, la longitud de les seves arestes, o els angles formats per elles.
Si és un políedre convex, un dual combinatori s'obté traint un punt intern a cada cara que farà de vèrtex i prenent l'evolvent convexa d'aquests punts. Des del punt de vista mètric el dual depèn de la tria dels punts, però no des del punt de vista combinatori.
Dualitat mètrica Des del punt de vista mètric, dos políedres i són duals si s'obtenen l'un de l'altre per una inversió circular respecte d'una esfera . En aquest cas es parla de dualitat mètrica.
Molts sòlids, com els sòlids regulars o els sòlids arquimedians, tenen un "centre" . En aquest cas, el dual del sòlid es considera generalment el dual mètric segons qualsevol esfera centrada en . Esferes amb radis diversos donen lloc a políedres semblants: els políedres duals queden completament definits des del punt de vista mètric tret d'una relació de semblança.
Construcció de Dorman Luke Per a tot políedre uniforme, les cares del políedre dual mètric es poden trobar a partir dels vèrtexs del políedre original fent servir la construcció de Dorman Luke. Aquesta construcció va ser descrita per primer cop per Cundy i Rollett (1961) i més tard generalitzada per Magnus Wenninger (1983).
Per exemple, aquí es té la figura de truncar el vèrtex (vermell) del cuboctàedre i es fa servir per obtenir una cara (blau) del dodecàedre rombic.
Construcció de Dorman-Luke
Abans de començar la construcció, s'obté la figura del vèrtex ABCD a base de tallar cada aresta incident (en aquest cas) al seu punt mitjà.
Llavors se segueix la construcció de Dorman Luke:
Dibuixar la circumferència circumscrita (tangent a cada aresta). Traçar les línies tangents a la circumferència circumscrita a cada aresta A, B, C, D. Marcar els punts E, F, G, H, on cada línia interseca la línia adjacent. El polígon EFGH és una cara del políedre dual.
La mida de la figura del vèrtex s'ha triat de forma que la seva circumferència circumscrita romangui en l'esfera inscrita del cuboctàedre, la qual també esdevé l'esfera inscrita del dodecàedre ròmbic dual.
La construcció de Dorman Luke només es pot fer servir en políedres tals que tenen esfera inscrita i la figura dels vèrtexs és cíclica, és a dir en políedres uniformes.
Poliedres duals Sòlids platònics 180 px| El dual d'un tetràedre és el tetràedreEl dual del tetràedre és el tetràedre 200px|dual del cub200px|dual de l'octàedreEl dual del cub és l'octàedreEl dual de l'octàedre és el cub200px|dual del dodecàedre200px|dual de l'icosàedreEl dual del dodecàedre és l'icosàedreEl dual de l'icosàedre és el dodecàedre
Sòlids arquimedians sòlid dual tetràedre truncat 50px|tetràedre truncat tetràedre triakis50px|Tetràedre triakis cub truncat 50px|Cub truncatoctàedre triakis50px|octàedre triakis octàedre truncat 50px|octàedre truncat Cub tetrakis 50px|Cub tetrakis cuboctàedre 50px|cuboctàedre dodecàedre ròmbic50px|Dodecàedre ròmbic rombicuboctàedre 50px|rombicuboctàedreicositetràedre trapezoïdal50px|icositetràedre trapezoïdal cuboctàedre truncat 50px|Cuboctàedre truncat octàedre hexaquis50px|octàedre hexaquis cub xato 50px|cub xato icositetràedre pentagonal50px|icositetràedre pentagonal dodecàedre truncat 50px|dodecàedre truncaticosàedre triakis 50px|icosàedre triakis icosàedre truncat 50px|icosàedre truncatdodecàedre pentakis50px|dodecàedre pentakis icosidodecàedre 50px|icosidodecàedre triacontàedre ròmbic50px|triacontàedre ròmbic rombicosidodecàedre 50px|rombicosidodecàedre hexacontàedre pentagonal50px|hexacontàedre pentagonal icosidodecàedre truncat 50px|icosidodecàedre truncat icosàedre hexakis50px|icosàedre hexakis dodecàedre xato 50px|dodecàedre xatohexacontàedre pentagonal50px|hexacontàedre pentagonal
Políedres de Kepler-Poinsot sòlid dual petit dodecàedre estelat 50px|petit dodecàedre estelat gran dodecàedre 50px|gran dodecàedre gran dodecàedre estelat 50px|gran dodecàedre estelat gran icosàedre 50px|gran icosàedre
Dualitat entre cúpules geodèsiques Cúpula geodèsica com a triangulació 200px|Cúpula geodèsica La cúpula dual té l'aspecte d'un rusc 200px|cúpula dual
Referències
B. Grünbaum & G. Shephard, Duality of polyhedra, Shaping space – a polyhedral approach, ed. Senechal and Fleck, Birkhäuser (1988), p. 205-211. P. Gailiunas & J. Sharp, Duality of polyhedra, Internat. journ. of math. ed. in science and technology, Vol. 36', No. 6 (2005), p. 617-642.
Enllaços externs Animazione Java
Categoria:Políedres