miniatura|Les possibles manipulacions del Cub de Rubik formen un grup. En matemàtiques, la teoria de grups estudia els grups. Un grup és una estructura algebraica que consta d'un conjunt juntament amb una operació que combina qualsevol parella dels seus elements per a formar un tercer element. Perquè es pugui qualificar de grup, el conjunt i operació han de satisfer unes quantes condicions anomenades axiomes de grup, aquestes condicions són: tenir la propietat associativa, tenir element identitat i element invers. Mentre que aquestes característiques són familiars a moltes estructures matemàtiques, com ara els diferents sistemes de nombres (per exemple els enters dotats de l'operació d'addició formen una estructura de grup), la formulació dels axiomes se separa de la natura concreta del grup i el seu funcionament. Això permet, en àlgebra abstracta i altres camps, manejar entitats d'orígens matemàtics molt diferents d'una manera flexible, mentre es conserven aspectes estructurals essencials de molts objectes. La ubiqüitat dels grups en nombroses àrees (tant dintre com fora de les matemàtiques) els converteix en un principi central entorn del qual s'organitzen les matemàtiques contemporànies.: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."

Els grups comparteixen un parentiu fonamental amb la noció de simetria. Un grup de simetria codifica les característiques de simetria d'un objecte geomètric: consisteix en el conjunt de transformacions que deixen inalterat l'objecte, i l'operació de combinar dues d'aquestes transformacions realitzant-ne una després de l'altre. Tals grups de simetria, especialment els Grups de Lie continus, tenen un paper important en moltes disciplines acadèmiques. Els grups de matrius, per exemple, es poden fer servir per entendre les lleis físiques fonamentals en què es basen la relativitat i els fenòmens de simetria en la química molecular.

El concepte d'un grup va sorgir de l'estudi d'equacions polinòmiques, començant amb Évariste Galois durant els anys 1830. Després de contribucions des d'uns altres camps com la teoria de nombres i la geometria, la noció de grup es va generalitzar i s'establí fermament al voltant de 1870. La moderna teoria de grups (una disciplina matemàtica molt activa) estudia els grups per se. per a explorar els grups, els matemàtics han ideat diverses nocions dividir grups en trossos més petits, més comprensibles, com ara subgrups, grups quocient i grups simples. A més a més de les seves propietats abstractes, els teòrics dels grups també estudien les maneres diferents en què un grup es pot expressar en forma concreta (les seves representacions de grup), tant des d'un punt de vista teòric com d'un punt de vista computacional. Una teoria especialment rica s'ha desenvolupat per a grups finits, que va culminar amb la classificació dels grups simples finits completada el 1983.

Definició i il·lustració Primer exemple: els enters Un dels grups més familiar és el conjunt dels nombres enters Z que consisteix en els nombres ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... Les propietats següents de l'addició d'enters serveixen com a model per als axiomes de grup abstractes que es donen en la definició de més avall.

Per a qualsevol parell d'enters a i b, la suma a + b és també un enter. En altres paraules, el procés d'addició d'enters dos alhora mai no pot produir un resultat que no sigui un enter. Aquesta propietat es coneix com a clausura respecte a l'addició. Per a tots els enters a, b i c, (a + b) + c = a + (b + c). Expressat en paraules, sumant primer a i b, i llavors sumant el resultat amb c dona el mateix resultat final que sumant a al resultat de sumar b i c, aquesta propietat es coneix com a propietat associativa. Si a és un enter qualsevol, llavors 0 + a = a + 0 = a. Del zero se'n diu que és l'element identitat de l'addició perquè en sumar-lo a qualsevol enter dona el mateix enter. Per a cada enter a, hi ha un enter b tal que a + b = b + a = 0. L'enter b s'anomena l'element invers de l'enter a i es nota −a.

Definició Els enters, juntament amb l'operació "+", formen un objecte matemàtic que pertany a una classe vasta en la qual hi ha altres objectes que comparteixen aspectes estructurals similars. Per entendre apropiadament aquestes estructures sense tractar amb cada cas concret per separat, es desenvolupa la definició abstracta següent que inclou l'exemple citat junt amb molts altres, un dels quals és el grup de simetria detallat més avall.

Un grup és un conjunt, G, conjuntament amb una operació binària "•" que combina dos elements qualssevol a i b de G per formar un altre element notat . El símbol "•" és un element general per a representar una operació concretament donada qualsevol, com ara l'addició de més amunt. Per a poder-se qualificar de grup, el conjunt i l'operació , han de satisfer quatre requisits coneguts com els axiomes de grup: {| | 1. || style="width:150pt;"| Clausura. || Per a tot a, b de G, el resultat de l'operació a • b també pertany a G. |- | 2. || Propietat associativa. || Per a tots a, b i c de G, es compleix l'equació (a • b) • c = a • (b • c). |- | 3. || Element identitat. || Existeix un element e de G, tal que per a tots els elements a de G, es compleix l'equació e • a = a • e = a. |- | 4. || Element invers. || Per a tot a de G, existeix un element b de G tal que a • b = b • a = e, on e és l'element identitat.

L'ordre en el qual es fa l'operació de grup pot ser significatiu. En altres paraules, el resultat d'operar l'element a amb l'element b no ha de donar necessàriament el mateix que operant b amb a; l'equació a • b = b • a pot no ser sempre certa. Aquesta equació sempre es compleix al grup d'enters amb l'addició, perquè a + b = b + a per a dos enters qualssevol (propietat commutativa de l'addició). Tanmateix, no es compleix sempre al grup de simetria de més avall. Els grups en què l'equació a • b = b • a sempre es compleix s'anomenen abelians (en honor de Niels Henrik Abel). Així, el grup dels enters amb l'addició és abelià, però el grup de simetria següent no ho és.

Segon exemple: un grup de simetria Les simetries (és a dir, les rotacions i les reflexions) d'un quadrat formen un grup anomenat un grup dièdric, i es nota D₄. Té les següents simetries: 140px|Identitat id (deixar-ho com estava) 140px|r1 (rotació de 90° a la dreta) r1 (rotació de 90° a la dreta) 140px|r2 (rotació de 180° a la dreta) r₂ (rotació de 180° a la dreta) 140px|r3 (rotació de 270° a la dreta) r₃ (rotació de 270° a la dreta) 140px|fv (reflexió vertical) fv (reflexió vertical) 140px|fh (reflexió horitzontal) fh (reflexió horitzontal) 140px|fd (reflexió diagonal) fd (reflexió diagonal) 140px|fc (reflexió contradiagonal) fc (reflexió contradiagonal) Els elements del grup de simetria del quadrat (D₄). Els vèrtexs es pinten i es numeren només per visualitzar les operacions. L'operació identitat que ho deixa tot tal com estava, notada id; rotacions del quadrat de 90° a la dreta, 180° a la dreta, i 270° a la dreta, notades r1, r₂ i r₃, respectivament; reflexions respecte dels eixos vertical i horitzontal (fv i fh), o respecte de les dues diagonals (fd i fc).

Dues simetries qualssevol a i b es poden compondre, és a dir aplicar una després de l'altre. El resultat de fer primer a i llavors b s'escriu simbòlicament d'esquerra a dreta com b • a ("apliqueu la simetria b després d'haver aplicat la simetria a". La notació de dreta a esquerra prové de la notació per a la composició de funcions). La taula de grup a la dreta presenta els resultats de totes les composicions possibles. Per exemple, girar 270° a la dreta (r₃) i llavors fer una reflexió horitzontal (fh) és el mateix que fer una reflexió al llarg de la diagonal (fd). Utilitzant els símbols citats, ombrejat en blau a la taula de grup: fh • r₃ = fd.

+ Taula de grup de D₄ • id r1 r₂ r₃ fv fh fd fc id id r1 r₂ r₃ fv fh fd fc r1 r1 r₂ r₃ id fc fd fv fh r₂ r₂ r₃ id r1 fh fv fc fd r₃ r₃ id r1 r₂ fd fc fh fv fv fv fd fh fc id r₂ r1 r₃ fh fh fc fv fd r₂ id r₃ r1 fd fd fh fc fv r₃ r1 id r₂ fc fc fv fd fh r1 r₃ r₂ id Els elements: id, r1, r₂, i r₃ formen un subgrup, ombrejat en vermell (regió de l'esquerra superior). Una classe lateral esquerra i dreta d'aquest subgrup és presenta ombrejada en verd (a l'última fila) i groc (última columna), respectivament. Donats aquest conjunt de simetries i l'operació descrita, els axiomes de grup es poden entendre de la manera següent:

1. L'axioma de clausura demana que la composició b • a de dues simetries qualssevol a i b sigui també una simetria. Un altre exemple per a l'operació de grup és r₃ • fh = fc, és a dir, girar 270° a la dreta després d'una reflexió horitzontal és el mateix que fer una reflexió al llarg de la contradiagonal (fc). En efecte cada dues combinacions de dues simetries donen una simetria, com es pot comprovar fent servir la taula de grup.

2. La condició d'associativitat tracta amb compondre més de dues simetries: donats tres elements a, b i c de D₄, hi ha dues maneres possibles de calcular "a llavors b llavors c". El requisit (a • b) • c = a • (b • c) vol dir que la composició dels tres elements és independent de la prioritat de les operacions, és a dir, component a amb b, i després c amb equival a fer a després de la composició de b i c. Per exemple (fd • fv) • r₂ = fd • (fv • r₂) com es pot comprovar fent servir la taula de grup de la dreta {|style="text-align:center"| |(fd • fv) • r₂|| = ||r₃ • r₂|| = ||r1, que és igual a |- |fd • (fv • r₂)|| = ||fd • fh|| = ||r1.

3. L'element identitat és la simetria id que ho deixa tot inalterat: per a qualsevol simetria a, realitzant id després de a (o a després d'id) és igual a a, de forma simbòlica, id • a = a, a • id = a.

4. Un element invers desfà la transformació d'algun altre element. Totes les simetries es poden desfer: cada una de les transformacions: id, fh, fv, fd, fc i r₂ són la seva pròpia inversa, perquè actuant cada una dues vegades porta el quadrat a la seva orientació original. Les rotacions r₃ i r1 són la inversa una de l'altre, perquè girant cap a un cantó i llavors el mateix angle cal a l'altre cantó deixa al quadrat inalterat. En símbols, fh • fh = id, r₃ • r1 = r1 • r₃ = id.

A diferència del grup d'enters de damunt, on l'ordre de l'operació és irrellevant, en D₄ sí que importa: fh • r1 = fc però r1 • fh = fd. En altres paraules, D₄ no és abelià, això fa l'estructura del grup més difícil que la dels enters presentada abans.

Història El concepte modern de grup abstracte es va desenvolupar a través d'uns quants camps de les matemàtiques. La motivació original per al desenvolupament de la teoria de grups va ser buscar solucions d'equacions polinòmiques de grau superior a 4. El matemàtic francès del Évariste Galois, estenent el treball previ de Paolo Ruffini i Joseph-Louis Lagrange, va donar un criteri per a la resolubilitat d'una equació polinòmica particular en termes del grup de simetria de les seves arrels (solucions). Els elements d'aquest grup de Galois corresponen a certes permutacions de les arrels. Al principi, les idees de Galois foren rebutjades pels seus contemporanis, i es publicaren només pòstumament. Més en general els grups de permutació foren investigats en particular per Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley a l'obra Sobre la teoria de grups que depenen de l'equació simbòlica θn = 1 (1854) dona la primera definició abstracta de grup finit.

La geometria va ser el segon camp en el qual els grups es van fer servir sistemàticament, especialment els grups de simetria com a part del programa Erlangen de Felix Klein de 1872. Després que emergissin noves geometries com la hiperbòlica i la geometria projectiva, Klein feia servir la teoria de grups per organitzar-les d'una manera més coherent. Avançant més aquestes idees, Sophus Lie fundava l'estudi dels Grups de Lie el 1884.