fou un matemàtic i filòsof alemany, fundador de la teoria de conjunts moderna. Cantor va establir la importància del concepte de funció bijectiva entre els conjunts, va definir els conceptes de conjunt infinit i de conjunt ben ordenat, i va demostrar que el conjunt dels nombres reals és "més gran" que el conjunt dels nombres naturals, tot i ser infinits ambdós. De fet, del Teorema de Cantor se segueix que per a tot infinit hi ha un infinit més gran, i que, per tant, hi ha una infinitat d'infinits. També va definir els conceptes de nombre cardinal i nombre ordinal així com la seva aritmètica. El treball de Cantor ha estat una contribució molt important dins el camp de les matemàtiques i és, a més a més, d'un gran interès filosòfic.
El treball de Cantor va trobar resistència per part d'alguns matemàtics contemporanis seus com Leopold Kronecker i Henri Poincaré, i després per Hermann Weyl i L.E.J. Brouwer. Ludwig Wittgenstein va plantejar també algunes objeccions filosòfiques. Cantor va patir freqüents atacs de depressió al llarg de tota la seva vida des del 1884, que possiblement eren manifestacions d'un trastorn bipolar.
Avui en dia, la gran majoria dels matemàtics que no són constructivistes ni finitistes accepten el treball de Cantor sobre els nombres transfinits i la seva aritmètica i reconeix el canvi de paradigma que Cantor va introduir en la matemàtica. En paraules de David Hilbert: "Ningú no ens podrà fer fora del paradís que Cantor ha creat."
Biografia miniatura|esquerra|Placa commemorativa al carrer 11 de l'illa Vassílievski de Sant Petersburg, on va viure Cantor els seus primer anys. Georg Woldemar Cantor, pare de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, fou nadiu de Copenhaguen, però es traslladà ja de ben jove a Sant Petersburg, on trobà fortuna com a corredor de valors. La seva esposa, Maria Anna, provenia d'una família particularment musical. Georg Cantor fou el primer de sis fills, nascut el 1845. Creixé en un entorn fortament influenciat per la religió, ja que la seva mare era catòlica romana, però el seu pare s'havia criat en les idees luteranes i era un ferm protestant.
A l'edat dels onze anys, la família es traslladà de Rússia a Alemanya, degut al delicat estat de salut del pare. S'establiren a Wiesbaden, una ciutat central de l'estat federal de Hesse on, amb 15 anys, Cantor assistí a l'institut. Demostrà ser excel·lent en totes les matèries, però destacava especialment en matemàtiques i ciència, així que el seu pare decidí encaminar-lo cap a l'enginyeria. Així començà els seus estudis posteriors al Polytechnikum de Zürich, poc després, el seu pare, l'esperança de vida del qual no era gaire encoratjadora, el deixà canviar-se a la Universitat de Berlín per estudiar matemàtiques. Assistí a classes de Weierstrass, Kummer i Kronecker. Passà l'estiu del 1866 a la Universitat de Göttingen i tornà després a Berlín, on completà la seva dissertació en teoria de conjunts sobre de aequationibus secundi gradus indeterminantis (la indeterminació d'equacions de segon grau).
A l'edat de 23 anys, Cantor ja havia sofert de forts episodis de depressió, que l'acompanyaren durant la seva vida i s'incrementaren. Després d'obtenir el doctorat el 1867, fou professor a una escola de noies, poc després s'establí com a professor adjunt de la Universitat de Halle, propera a Leipzig. El 1869 rebé l'habilitació, la nota més alta que es pot aconseguir, per la seva tesi, també en teoria de conjunts.
Durant aquest període s'encaminà cap a l'anàlisi, degut, sobretot, a la influència de Heine, qui desafià Cantor a demostrar el problema obert de la representació única d'una funció mitjançant sèries trigonomètriques. Aquest havia sigut un problema difícil, atacat per diversos matemàtics tals com el mateix Heine, Dirichlet, Lipschitz i Riemann. La demostració fou completada a l'abril del 1870. Publicà, a més, posteriors articles entre 1870 i 1872 sobre sèries trigonomètriques, fet que demostra la influència de les ensenyances de Weierstrass.
Degut a aquestes feines, entrà en contacte amb Dedekind, amb qui establiria una forta relació intel·lectual. Es cartejaren mútuament sobre els seus treballs matemàtics. Aquest primer construí els nombres reals per mitjà de seccions dels racionals (els talls de Dedekind) mentre que Cantor els construí per mitjà de successions convergents de Augustin Louis Cauchy de racionals. Part d'aquesta feina fou la que el portà a pensar en la diferència entre conjunts infinits numerables com els racionals i conjunts continus com els reals.
Al desembre de 1873 Cantor escrigué a Dedekind que podia demostrar que els reals no eren numerables. El famós argument de la diagonalització vingué després.
L'any 1874 fou important per Cantor, que es casà amb Vally Guttmann, una amiga de la seva germana, amb qui tingué sis fills, el darrer nascut el 1886. Intercanvià sovint cartes amb Dedekind, d'on sorgí la pregunta:“Pot una superfície (diguem un quadrat que inclou els seus límits) ésser únicament referit per una línia (diguem un segment recte de línia que inclou els punts delineants) de manera que per cada punt de la superfície hi hagi un punt de la línia i, d'altra forma, per cada punt de la línia hi hagi un punt de la superfície? Crec que la resposta d'aquesta qüestió no seria feina fàcil, tot i que la resposta sembla clarament ésser que no i la demostració sembli gairebé innecessària.” Fou cap al 1877 quan Cantor demostrà que hi ha una correspondència un-a-un entre els punts de l'interval i els punts d'un espai -dimensional. Ell mateix afirmà “Ho veig, però encara no m’ho puc creure!". Clar que tingué implicacions en les nocions sobre les dimensions de l'espai, unes nocions que havien estat prèviament establides com a indiscutibles i que ara es veien amenaçades. La conclusió arribada semblava minar completament el concepte intuïtiu de dimensió. Tanmateix, el punt clau fou que la dimensió roman invariant als homeomorfismes, on no només la funció mateixa ha de ser continua sinó la inversa d'aquesta ha de ser continua també. Aquestes conclusions haurien d'esperar gairebé 40 anys fins a ser extretes, però la feina de Cantor demostrà que la intuïció podia ser prou enganyosa en aquesta àrea. Els articles d'aquest caire que intentà publicar al Journal de Crelle trobaren una forta oposició per part de Kronecker, i només veren la llum gràcies a la intervenció de Dedekind.
Les seves revolucionàries idees foren desenvolupades en una sèrie de treballs que tingueren data entre 1879 i 1884. Durant aquests anys, un seguit de problemes dificultaren la feina de Cantor, que acabà la correspondència amb alguns dels seus amics de la universitat. L'any 1881, després de la mort de Heine, proposà a Dedekind per al mateix lloc a la universitat, però aquest declinà. A causa d'això, la seva correspondència matemàtica acabà poc després. Tanmateix, començà una fructífera amistat amb Gösta Mittag-Leffler, qui li permeté publicar a la seva revista, Acta Mathematica. Els darrers articles foren publicats en una monografia titulada Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fonaments de la teoria general de les varietats). Aquest fou especialment important per diversos motius, un dels quals per defensa de la crítica que va rebre, citant el seu autor:“M’adono que amb aquesta empresa meva em trobo amb una certa oposició al punt de vista extensament generalitzat pel que fa a l'infinit matemàtic i a l'opinió sovint defensada de la naturalesa dels nombres.” Tanmateix, citant la seva pròpia explicació de l'article:“El major assoliment dels Grundlagen fou la presentació dels nombres transfinits com una idea autònoma i una extensió sistemàtica dels nombres naturals.” En aquest treball els conceptes de naturalesa topològica comencen a sorgir. Les definicions de subconjunt dens, la idea de conjunt obert i tancat s'originen amb Cantor. Més tard, aquestes tindrien una repercussió important en els espais abstractes de Fréchet i en el clàssic Grundzüge der Mengenlehre (Principis de la teoria de conjunts) de Hausdorff. La feina dels nombres transfinits fou només la primera passa del programa. Però, per perfeccionar la teoria, necessitava la hipòtesi del continu, que romangué com un dels 23 problemes de Hilbert.
Aquestes teories foren feroçment atacades, fins i tot al camp personal, per molts matemàtics, especialment Kronecker, que bloquejà gran part de l'avenç del treball de Cantor i no permeté que tornés a la feina de Berlín; altres matemàtics, com Klein i Poincaré, es mostraren també reticents a acceptar-les. El 1884, Cantor sofrí una forta crisi de depressió, agreujada per les crítiques, així com ell mateix explica a una carta dirigida a Gösta Mittag-Leffler:“No sé quan podré tornar i continuar amb els meus treballs científics. De moment, no puc fer absolutament res, i em límit només a allò imprescindible per les meves classes; seria molt més feliç si pogués ser científicament actiu, si només tingués la frescor mental...” Sobre el 1885, Gösta Mittag-Leffler començà a dubtar de la feina de Cantor i l'avisà de no publicar uns papers sobre nombres ordinals. Aquest succés desembocà en la parada de la correspondència entre ambdós i poc després, les feines de Cantor començaren a disminuir. S'abocà a treballs filosòfics, un estudi intens de la literatura isabelina i el problema d'autoria Bacon-Shakespeare, denotant del seu inestable estat mental.
miniatura|esquerra|Tomba de Cantor i la seva família al cementiri Giebichenstein de Halle. La tèrbola relació amb Kronecker es fou calmant i Cantor abandonà els treballs filosòfics i retornà al camp matemàtic amb Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Contribucions als fonaments de la teoria de conjunts transfinits). La primera part d'aquesta feina fou publicada el 1895, tractava sobre conjunts simples ordenats. La segona, tot i que fou acabada poc temps després de la primera, sobre conjunts ben ordenats, no fou publicada fins dos anys després. Sembla, aparentment, que pretenia incloure una demostració de la hipòtesi del continu, que tants problemes li portà i que romangué inconclusa.
El 1890, Cantor ajudà a la fundació de Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Societat Alemanya de Matemàtiques) i en presidí la primera conferència a Halle el 1891, on presentà el seu famós argument de la diagonalització. A partir del 1895, les seves teories foren defensades per matemàtics més joves i enèrgics. Continuà amb feines matemàtiques intermitents, interrompudes per atacs de la seva condició mental que a partir del 1904 degenerà dràsticament.
Cantor passà els últims anys exercint de professor, tot i que fou excusat durant diversos semestres degut a la seva condició. Esperava poder conèixer a Russell en persona, poc després d'haver publicat els Principia Mathematica, però la malaltia i problemes familiars no ho permeteren. Li fou concedit el grau honorari de Doctor en Lleis per la Universitat de St Andrews, d'Escòcia, però altre cop la seva condició impedí que rebés el premi en persona.
Finalment, Cantor es retirà vers el 1913 i morí a l'hospital psiquiàtric de Halle el 6 de gener de 1918 a l'edat de 73 anys. Al final de la seva carrera, els seus assoliments foren reconeguts amb mèrits científics i acadèmics.
Filosofia de l'infinit