miniatura|Hipèrbola
Una hipèrbola o hipèrbole es defineix com el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la diferència de les distàncies a dos punts fixos denominats focus.
La forma més freqüent d'una hipèrbola és la següent:
La hipèrbola és la corba cònica oberta formada dues branques resultat de la intersecció de les dues parts d'una superfície cònica amb un pla que la talla i que forma amb l'eix del con un angle més petit que amb la generatriu del con. És habitual pensar que cal que el pla sigui paral·lel a l'eix, però no és així i a més, en tots els casos, les dues branques de la hipèrbola són simètriques.
Etimologia i història La paraula hipèrbola deriva del grec , que significa desbordat o excessiu, del qual també deriva el terme anglès hipèrbole. Les hipèrboles van ser descobertes per Menecme en les seves investigacions sobre el problema de duplicar el cub, però aleshores es van anomenar seccions de cons obtusos. Es creu que el terme hipèrbola va ser encunyat per Apol·loni de Perge (c. 262 – c. 190 aC) en la seva obra definitiva sobre les seccions còniques, les còniques. Els noms de les altres dues seccions còniques generals, l'el·lipse i la paràbola, deriven de les paraules gregues corresponents per a deficient i aplicat; tots tres noms són manllevats de la terminologia pitagòrica anterior que es referia a una comparació del costat de rectangles d'àrea fixa amb un segment de línia determinat. El rectangle es podria aplicar al segment (és a dir, tenir la mateixa longitud), ser més curt que el segment o superar el segment.
Definicions Com a lloc geomètric dels punts miniatura| Hipèrbola: definició per les distàncies dels punts a dos punts fixos (focus) miniatura| Hipèrbola: definició amb directriu circular Una hipèrbola es pot definir geomètricament com un conjunt de punts (lloc geomètric dels punts) en el pla euclidià: El punt mig del segment de recta que uneix els focus s'anomena centre de la hipèrbola. La línia que passa pels focus s'anomena eix major. Conté els vèrtexs , que tenen distància al centre. La distància dels focus al centre s'anomena distància focal o excentricitat lineal. El quocient és l’excentricitat .
L'equació es pot veure d'una altra manera (vegeu el diagrama): Si és el cercle amb punt mig i radi , aleshores la distància d'un punt de la branca dreta al cercle és igual a la distància al focus : s'anomena directriu circular (relacionada amb el focus ) de la hipèrbola. Per obtenir la branca esquerra de la hipèrbola, cal utilitzar la directriu circular relacionada amb . Aquesta propietat no s'ha de confondre amb la definició d'una hipèrbola amb ajuda d'una directriu (recta) que es mostra a continuació.
Hipèrbola amb equació miniatura| Rotació del sistema de coordenades per descriure una hipèrbola rectangular com a gràfica d'una funció miniatura| Tres hipèrboles rectangulars amb els eixos de coordenades com a asímptotes vermell: A = 1; magenta: A = 4; blau: A = 9
Si el sistema de coordenades xy es gira al voltant de l'origen l'angle i noves coordenades s'assignen, aleshores .
La hipèrbola rectangular (els semieixos del qual són iguals) té la nova equació . Resolent per a rendiments
Així, en un sistema de coordenades xy, el gràfic d'una funció amb l'equació és una hipèrbola rectangular completament en el primer i tercer quadrants amb
els eixos de coordenades com a asímptotes, la línia com a eix principal, el centre i el semieix els vèrtexs el semilat recte i el radi de curvatura als vèrtexs l’excentricitat lineal i l'excentricitat la tangent al punt
Una rotació de la hipèrbola original per resulta en una hipèrbola rectangular completament en el segon i quart quadrants, amb les mateixes asímptotes, centre, semi-latus recte, radi de curvatura als vèrtexs, excentricitat lineal i excentricitat que en el cas de rotació, amb equació
els semieixos la línia com a eix principal, els vèrtexs
Desplaçament de la hipèrbola amb l'equació perquè el nou centre sigui dóna la nova equació i les noves asímptotes són i . Els paràmetres de forma romandre inalterats.
Per la propietat de la directriu miniatura| Hipèrbola: propietat de la directriu miniatura| Hipèrbola: definició amb la propietat de la directriu Les dues línies a distància des del centre i paral·leles a l'eix menor s'anomenen directrius de la hipèrbola (vegeu el diagrama).
Per a un punt arbitrari de la hipèrbola, el quocient de la distància a un focus i a la directriu corresponent (vegeu el diagrama) és igual a l'excentricitat:
La prova de la parella es desprèn del fet que i satisfer l'equació El segon cas es demostra anàlogament.
miniatura| Llapis de còniques amb un vèrtex comú i un semilat recte comú L’afirmació inversa també és certa i es pot utilitzar per definir una hipèrbola (de manera similar a la definició d'una paràbola):
Per a qualsevol punt (enfocament), qualsevol línia (directora) no a través de i qualsevol nombre real amb el conjunt de punts (lugar geomètric dels punts), per als quals el quocient de les distàncies al punt i a la recta és és una hipèrbola.
(L'elecció dóna una paràbola i si una el·lipse.)
Prova Sigui i suposem que és un punt de la corba. La directriu té una equació . Amb , la relació produeix les equacions
i La substitució rendiments Aquesta és l'equació d'una el·lipse () o una paràbola () o una hipèrbola (). Totes aquestes còniques no degenerades tenen, en comú, l'origen com un vèrtex (vegeu el diagrama).
Si , introduir nous paràmetres de manera que , i aleshores l'equació anterior esdevé que és l'equació d'una hipèrbola amb centre , l'eix x com a eix major i el semieix major/menor .
miniatura| Hipèrbola: construcció d'una directriu
Construcció d'una directriu A causa de punt de la directriu (vegeu el diagrama) i centreu-vos són inversos respecte a la inversió del cercle en el cercle (en el diagrama en verd). Per tant, punt es pot construir utilitzant el teorema de Tales (no mostrat al diagrama). La directriu és la perpendicular a la recta punt de pas .
Construcció alternativa de : El càlcul mostra que aquest punt és la intersecció de l'asímptota amb la seva perpendicular a través de (vegeu el diagrama).
Com a secció plana d'un con miniatura| Hipèrbola (vermell): dues vistes d'un con i dues esferes de Dandelin d1 , d2 La intersecció d'un con doble vertical amb un pla que no passa pel vèrtex amb un pendent més gran que el pendent de les rectes del con és una hipèrbola (vegeu el diagrama: corba vermella). Per demostrar la propietat definidora d'una hipèrbola (vegeu més amunt) s'utilitzen dues esferes de Dandelin , que són esferes que toquen el con al llarg de cercles i el pla d'intersecció (hipèrbola) en els punts i Resulta que: són els focus de la hipèrbola.
Sigui un punt arbitrari de la corba d'intersecció. La generatriu del con que conté les intersectas circula en un punt i circula en un punt. Els segments de línia i són tangencials a l'esfera i, per tant, són d'igual longitud. Els segments de línia i són tangencials a l'esfera i, per tant, són d'igual longitud. El resultat és: és independent del punt d'hipèrbola, perquè no importa on estigui el punt, ha d'estar en cercles, i el segment de línia ha de creuar l'àpex. Per tant, a mesura que el punt es mou al llarg de la corba vermella (hipèrbola), el segment de línia simplement gira al voltant de l'àpex sense canviar la seva longitud.
Construcció de passadors i cordes miniatura| Hipèrbola: construcció amb agulles i cordes La definició d'una hipèrbola pels seus focus i les seves directrius circulars (vegeu més amunt) es pot utilitzar per dibuixar-ne un arc amb l'ajuda d'agulles, una corda i un regle:
Trieu els focus i una de les directrius circulars, per exemple (cercle amb radi )
Un regle està fix en un punt lliure de girar . Punt està marcat a distància .
Una corda té un extrem fixat en un punt al regle i es fa la seva longitud .
L'extrem lliure de la corda està fixat a la punta .
Agafa un bolígraf i subjecta el cordill fort a la vora del regle.
Girant el regle al voltant fa que el bolígraf dibuixi un arc de la branca dreta de la hipèrbola, a causa de (vegeu la definició d'una hipèrbola per directrius circulars).
Generació de Steiner d'una hipèrbola miniatura| Hipèrbola: generació de Steiner miniatura| Hipèrbola y = 1/ x: Generació de Steiner El mètode següent per construir punts individuals d'una hipèrbola es basa en la generació de Steiner d'una secció cònica no degenerada:
Per a la generació de punts de la hipèrbola s'utilitzen els llapis als vèrtexs . Deixa sigui un punt de la hipèrbola i . El segment de línia es divideix en n segments equidistants i aquesta divisió es projecta paral·lela a la diagonal com a direcció sobre el segment de línia (vegeu el diagrama). La projecció paral·lela forma part de l'aplicació projectiva entre els llapis a i necessari. Els punts d'intersecció de dues rectes relacionades qualssevol i són punts de la hipèrbola definida de manera única.
Observacions: La subdivisió es podria estendre més enllà dels punts i per obtenir més punts, però la determinació dels punts d'intersecció esdevindria més imprecisa. Una millor idea és ampliar els punts ja construïts per simetria (vegeu l'animació). La generació de Steiner també existeix per a el·lipses i paràboles. La generació de Steiner de vegades s'anomena mètode de paral·lelogram perquè es poden utilitzar altres punts en lloc dels vèrtexs, que comença amb un paral·lelogram en lloc d'un rectangle.
Angles inscrits per a hipèrboles i la forma de 3 punts miniatura| Hipèrbola: teorema de l'angle inscrit Una hipèrbola amb equació està determinat únicament per tres punts amb coordenades x i y diferents. Una manera senzilla de determinar els paràmetres de forma utilitza el teorema de l'angle inscrit:
Per tal de mesurar un angle entre dues rectes amb equacions en aquest context s'utilitza el quocient per a hipèrboles:
Anàlogament al teorema de l'angle inscrit per a cercles, s'obté el
Una conseqüència del teorema de l'angle inscrit per a les hipèrboles és la
Com a imatge afí de la hipèrbola unitària Una altra definició d'hipèrbola utilitza transformacions afins: Qualsevol «hipèrbola» és la imatge afí de la hipèrbola unitària amb equació .
Representació paramètrica miniatura|Hipèrbola com a imatge afí de la hipèrbola unitària Una transformació afí del pla euclidià té la forma , on és una matriu regular (el seu determinant no és 0) i és un vector arbitrari. Si són els vectors columna de la matriu , la hipèrbola unitària es mapeja a la hipèrbola
és el centre, un punt de la hipèrbola i un vector tangent en aquest punt.
Vèrtexs En general els vectors no són perpendiculars. Significa, en general que no són els vèrtexs de la hipèrbola. Però apunten a les direccions de les asímptotes. El vector tangent al punt és
Com que en un vèrtex la tangent és perpendicular a l'eix major de la hipèrbola, s'obté el paràmetre d'un vèrtex a partir de l'equació
I per tant de
la qual cosa dóna
Ens fan servir les fórmules and .
Els dos vèrtexs de la hipèrbola són
Representació implícita Resolent la representació paramètrica per a per la regla de Cramer i utilitzant , s'obté la representació implícita
Hipèrbola a l'espai La definició d'hipèrbola en aquesta secció dóna una representació paramètrica d'una hipèrbola arbitrària, fins i tot en l'espai, si es permet ser vectors a l'espai.
Com a imatge afí de la hipèrbola miniatura| Hipèrbola com a imatge afí de y = 1/ x
Perquè la hipèrbola unitària és afinament equivalent a la hipèrbola , una hipèrbola arbitrària es pot considerar com la imatge afí (vegeu la secció anterior) de la hipèrbola
és el centre de la hipèrbola, els vectors tenen les direccions de les asímptotes i és un punt de la hipèrbola. El vector tangent és
En un vèrtex la tangent és perpendicular a l'eix major.
Per tant i el paràmetre d'un vèrtex és
és equivalent a i són els vèrtexs de la hipèrbola.