miniatura|El matemàtic alemany David Hilbert. Els problemes de Hilbert són un conjunt de 23 problemes matemàtics, originalment sense resoldre, que el matemàtic alemany David Hilbert presentà al Segon Congrés Internacional de Matemàtics, celebrat a París l'agost de 1900. Alguns dels problemes presentats són específics, com la hipòtesi de Riemann, mentre que d'altres són molt més genèrics i vagues i es poden considerar més línies d'investigació que veritables problemes. L'objectiu de Hilbert era oferir unes línies de treball per a la recerca en matemàtiques, destacant els camps i els problemes més importants. La conferència tingué un ressò extraordinari i les línies establertes per Hilbert han guiat la matemàtica durant bona part del .
Naturalesa i influència dels problemes Els problemes de Hilbert són molt diversos pel que fa a la temàtica i a la precisió en llur definició. Alguns d'ells, com és el cas del tercer, que va ser el primer a ser resolt, o el vuitè problema (la hipòtesi de Riemann), que segueix avui dia sense resoldre, es van enunciar amb prou precisió per permetre'ls una resposta afirmativa o negativa. Quant a altres problemes, com el cinquè, els experts n'han acordat una única interpretació i se n'ha donat una solució a la interpretació acceptada, malgrat que hi ha encara problemes sense resoldre que hi estan estretament relacionats. Algunes de les afirmacions de Hilbert no eren prou precises per especificar un problema en particular, però eren prou suggerents per ser aplicats a certs problemes de naturalesa més contemporània; per exemple, la majoria dels teòrics de nombres entenen que el novè problema fa referència a la conjecturada correspondència de Langlands sobre les representacions del grup de Galois absolut d'un cos de nombres. Malgrat tot, altres problemes, com l'onzè o el setzè, estan relacionats amb el que ara són subdisciplines matemàtiques en alça, com les teories de les formes quadràtiques i les corbes reals algebraiques.
Hi ha, a més, dos problemes que no només no s'han resolt sinó que a més pot ser que no siguin resolubles segons els estàndards moderns. El sisè problema té a veure amb l'axiomatització de la física, un objectiu que els desenvolupaments del segle XX han demostrat més remot i menys important del que era en l'època de Hilbert. A més, el quart problema té a veure amb els fonaments de la geometria, d'una forma que actualment es considera massa vaga perquè hi hagi una resposta definitiva.
Els altres 21 problemes han rebut una atenció significativa, i fins i tot a finals del segle XX se seguia considerant molt important treballar en la resolució d'aquestes problemes. Paul Cohen va rebre la Medalla Fields l'any 1966 pel seu treball en el primer problema, i la solució negativa del desè problema l'any 1970 de Iuri Matiyasevitx (completant l'obra de Julia Robinson, Hilary Putnam i Martin Davis) va tenir un impacte similar. Aspectes d'aquests problemes segueixen sent de gran interès avui en dia.
Els 23 problemes de Hilbert Els vint-i-tres problemes de Hilbert són els següents:
Problema Breu enunciat Situació Any Primer Demostrar la Hipòtesi del Continu (CH), és a dir, que no existeix cap conjunt de cardinalitat estrictament compresa entre el cardinal dels enters i el dels reals. 1) 19402) 1963 Segon Demostrar la consistència dels axiomes de l'aritmètica. 1930 - Gödel1936 - Gentzen Tercer Donats qualsevol dos políedres d'igual volum, és sempre possible descompondre el primer en un nombre finit de políedres amb els quals es pugui reacoblar el segon? 1900 Quart Es poden construir mètriques, les línies de les quals siguin geodèsiques? L'enunciat és massa vague per decidir si ha estat resolt o no. – Cinquè Són tots els grups continus de transformacions de Lie automàticament diferenciables? 1953 Yamabe Sisè Axiomatització total de la física:
(a) Tractament axiomàtic de la probabilitat amb teoremes límit pels fonaments de la física estadística
(b) La teoria rigorosa dels processos límit "que van de la visió atomística fins a les lleis del movíment del continu" – Setè És a b un nombre transcendent, per a tot nombre algebraic a ≠ 0,1 i per a tot nombre irracional algebraic b ? 1934 Vuitè La Hipòtesi de Riemann (tots els zeros no trivials de la funció zeta tenen part real ½). Sense resoldre – Novè Trobar la més general llei de reciprocitat quadràtica en qualsevol cos de nombres. 1927 Artin Desè Trobar un algorisme per a determinar quan té solucions enteres una equació diofantina polinòmica amb coeficients enters. 1970 Onzè Resoldre qualsevol forma quadràtica amb coeficients numèrics algebraics. – Dotzè Estendre el Teorema de Kronecker-Weber sobre les extensions abelianes dels nombres racionals a qualsevol cos de nombres. – Tretzè Resoldre l'equació general de 7è. grau amb funcions de dues variables. 1957 Catorzè L'anell d'invariants d'un grup algebraic que actua sobre un anell de polinomis és sempre finitament generat? 1959 Quinzè Trobar una teoria rigorosa per al càlcul enumeratiu de Schubert. 1930 v.der Waerden1946 Weil Setzè a) Descriure les posicions relatives de les branques de les corbes algebraiques d'ordre n. b) Cicles límit dels camps vectorials polinomials. Sense resoldre. – Disetè Expressar qualsevol funció racional no negativa com un quocient de sumes de quadrats. 1927 Divuitè a) Quants tipus de poliedres existeixen que poden omplir totalment l'espai? b) Quina és la disposició més densa de les esferes en l'espai? 1928 Bieberbach / Reinhardt 1998 Hales Dinovè Les solucions dels lagrangians, són sempre analítiques? 1957 Vintè Tenen solució tots els problemes de càlcul de variacions amb certes condicions de frontera? 1913 Vint-i-unè Demostrar l'existència d'equacions diferencials lineals amb un determinat grup de monodromia. Vint-i-dosè Uniformar les relacions analítiques per mitjà de funcions automorfes. 1907 Vint-i-tresè Estendre el desenvolupament dels mètodes de càlcul de variacions. Més que un problema és un programa de recerca, al que la comunitat matemàtica va donar resposta. –
Notes
Referències
Bibliografia J. Gray, El reto de Hilbert (Crítica, Barcelona, 2000). Introducció divulgativa als problemes de Hilbert. , Benjamin. The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers. A K Peters Ltd., 2002.
Enllaços externs
Text original de la conferència de Hilbert. Text anglès de la conferència de Hilbert.
Hilbert Hilbert