Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.
A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per a trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970, Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per a una equació diofàntica d'ordre qualsevol.
Equació diofàntica de primer ordre És una equació de la forma , i només té solució si (és a dir, si el màxim comú divisor de i també divideix ).
Resolució general Les solucions d'aquesta equació són:
en què representen i és . i són les solucions enteres de l'equació .
Exemple A continuació, resoldrem l'equació . En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout , d'on trobem una solució immediata que és . Per tant, la solució general serà:
Alguns exemples ax + by = c: s'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta. xn + yn = zn: per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions. x² − n y² = 1: anomenada equació de Pell. Si n no és un quadrat perfecte, té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n. , on i : s'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.
Equacions homogènies Una equació diofàntica homogènia és una equació diofàntica que es defineix per un polinomi homogeni. Una equació típica d'aquest tipus és l'equació de l'últim teorema de Fermat.
Com que un polinomi homogeni en indeterminats defineix una hipersuperfície a l'espai projectiu de dimensió , resoldre una equació diofàntica homogènia és el mateix que trobar els punts racionals d'una hipersuperfície projectiva.
Resoldre una equació diofàntica homogènia és generalment un problema molt difícil, fins i tot en el cas no trivial més simple de tres indeterminats (en el cas de dos indeterminats, el problema és equivalent a provar si un nombre racional és la potència -èsima d'un altre nombre racional). Un testimoni de la dificultat del problema és l'últim teorema de Fermat (per a , no hi ha cap solució entera de l'equació anterior), que va necessitar més de tres segles d'esforços matemàtics abans de ser resolt.
Per a graus superiors a tres, els resultats més coneguts són teoremes que afirmen que no hi ha solucions (per exemple, l'últim teorema de Fermat) o que el nombre de solucions és finit (per exemple, el teorema de Faltings).
Per al tercer grau, hi ha mètodes de resolució generals que funcionen amb gairebé totes les equacions que es troben a la pràctica, però no es coneix cap algorisme que funcioni per a totes les equacions cúbiques.
Grau dos Les equacions diofàntiques homogènies de grau dos són més fàcils de resoldre. El mètode de resolució estàndard es desenvolupa en dos passos. Primer cal trobar una solució o demostrar que no n'hi ha cap. Quan s'ha trobat una solució, es dedueixen totes les solucions.
Per demostrar que no hi ha cap solució, es pot reduir l'equació mòdul . Per exemple, l'equació diofàntica
no té cap altra solució que la solució trivial . De fet, dividint i pel seu màxim comú divisor, es pot suposar que són noms entre si. Els quadrats mòdul 4 són congruents amb 0 i 1. Així, el costat esquerre de l'equació és congruent amb 0, 1 o 2, i el costat dret és congruent amb 0 o 3. Així, la igualtat només es pot obtenir si i són tots parells i, per tant, no són primers entre si. Així, l'única solució és la solució trivial . Això demostra que no hi ha cap punt racional en un cercle de radi , centrada a l'origen.
Més generalment, el principi de Hasse permet decidir si una equació diofàntica homogènia de grau dos té una solució entera i calcular una solució si existeix.
Si es coneix una solució entera no trivial, es poden obtenir totes les altres solucions de la manera següent.
Interpretació geomètrica Si
sigui una equació diofàntica homogènia, on és una forma quadràtica (és a dir, un polinomi homogeni de grau 2), amb coeficients enters. La solució trivial és la solució on tots són zero. Si és una solució entera no trivial d'aquesta equació, aleshores són les coordenades homogènies d'un punt racional de la hipersuperfície definida per A l'inrevés, si són coordenades homogènies d'un punt racional d'aquesta hipersuperfície, on són nombres enters, aleshores és una solució entera de l'equació diofàntica. A més, les solucions enteres que defineixen un punt racional donat són totes les seqüències de la forma
on és qualsevol nombre enter i és el màxim comú divisor de
D'això es dedueix que resoldre l'equació diofàntica es redueix completament a trobar els punts racionals de la hipersuperfície projectiva corresponent.
Parametrització Deixem ara sigui una solució entera de l'equació Com que és un polinomi de grau dos, una recta que passa per creua la hipersuperfície en un altre punt, que és racional si i només si la recta és racional (és a dir, si la recta està definida per paràmetres racionals). Això permet parametritzar la hipersuperfície mitjançant les rectes que passen per , i els punts racionals són aquells que s'obtenen a partir de rectes racionals, és a dir, aquells que corresponen a valors racionals dels paràmetres.
Més precisament, es pot procedir de la següent manera.
Permutant els índexs, es pot suposar, sense pèrdua de generalitat, que Aleshores es pot passar al cas afí considerant la hipersuperfície afí definida per
que té el punt racional
Si aquest punt racional és un punt singular, és a dir, si totes les derivades parcials són zero a , totes les rectes que passen per estan contingudes a la hipersuperfície, i una té un con. El canvi de variables
no canvia els punts racionals i transforma en un polinomi homogeni en variables. En aquest cas, el problema es pot resoldre aplicant el mètode a una equació amb menys variables.
Si el polinomi és un producte de polinomis lineals (possiblement amb coeficients no racionals), aleshores defineix dos hiperplans. La intersecció d'aquests hiperplans és un pla racional, i conté punts singulars racionals. Aquest cas és, doncs, una instància especial del cas precedent.
En el cas general, considerem l'equació paramètrica d'una recta que passa per :
Substituint això a , s'obté un polinomi de grau dos , que és zero per . Per tant, és divisible per El quocient és lineal en es pot resoldre expressant a quocient de dos polinomis de grau com a màxim dos en amb coeficients enters:
Substituint això en les expressions per a s'obté, per a ,
on són polinomis de grau com a màxim dos amb coeficients enters.
Aleshores, es pot tornar al cas homogeni. Sigui, per ,
sigui l'homogeneïtzació de Aquests polinomis quadràtics amb coeficients enters formen una parametrització de la hipersuperfície projectiva definida per :
Un punt de la hipersuperfície projectiva definit per és racional si i només si es pot obtenir a partir de valors racionals de Com són polinomis homogenis, el punt no canvia si tots es multipliquen pel mateix nombre racional. Per tant, es pot suposar que són nombres enters primers entre si. D'això es dedueix que les solucions enteres de l'equació diofàntica són exactament les seqüències on, per a ,
on és un nombre enter, són nombres enters primers entre si, i és el màxim comú divisor dels nombres enters
Es podria esperar que la coprimalitat de la impliqués que . Malauradament, aquest no és el cas, com es mostra a la secció següent.
Exemple de ternes pitagòriques L'equació
és probablement la primera equació diofàntica homogènia de grau dos que s'ha estudiat. Les seves solucions són els terns pitagòrics. Aquesta és també l'equació homogènia del cercle unitari. En aquesta secció, mostrem com el mètode anterior permet recuperar la fórmula d'Euclides per generar terns pitagòrics.
Per recuperar exactament la fórmula d'Euclides, partim de la solució , corresponent al punt del cercle unitari. Una recta que passa per aquest punt es pot parametritzar pel seu pendent:
Posant això a l'equació del cercle
un aconsegueix
Dividint per , resulta en
que és fàcil de resoldre en :
Segueix:
Homogeneïtzant com s'ha descrit anteriorment s'obtenen totes les solucions com a
on és qualsevol nombre enter, i són nombres enters primers entre si, i és el màxim comú divisor dels tres numeradors. De fet, si i són tots dos senars, i si un és senar i l'altre és parell.
Els triplets primitius són les solucions on i .
Aquesta descripció de les solucions difereix lleugerament de la fórmula d'Euclides perquè la fórmula d'Euclides només considera les solucions tals que i són totes positives, i no distingeix entre dos terns que difereixen per l'intercanvi de i .
Referències
Vegeu també Aryabhata II
Bibliografia
Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997. Bashmakova, Izabella G. "Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré" Historia Mathematica 8 (1981), 393–416. Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E. I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian]. Bashmakova, Izabella G. "Diophantine Equations and the Evolution of Algebra", American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, p. 85–100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
Diofantica Categoria:Teoria de nombres