miniatura|Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.
Una successió geomètrica amb raó i primer terme és
Se sol denotar per al terme que ocupa la posició de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,
Exemples La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó i primer terme . La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó i primer terme . La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó i primer terme .
Terme general Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme i de la raó mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:
Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica La suma dels primers termes de la successió és
En el cas que , aleshores . Si , aleshores
Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:
Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, , aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:
Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:
Monotonia Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior (), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior (), constant quan tots els termes són iguals () i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan ).
Monotonia en funció del primer terme i de la raó :
creixent decreixent decreixent creixent constant alternada
Vegeu també Progressió aritmètica Sèrie geomètrica
Referències
Categoria:Successions