miniatura|Sistema 3D de coordenades. En geometria, un sistema de coordenades és un sistema que utilitza un o més números o coordenades, per determinar de forma única la posició d'un punt o d'un altre element geomètric. És un conjunt de valors que permeten definir unívocament la posició de qualsevol punt en l'espai respecte a un punt de referència. L'ús d'un sistema de coordenades permet que determinats problemes en geometria es tradueixin en problemes numèrics, i a l'inrevés, aquesta és la base de la geometria analítica.
El conjunt d'eixos, punts o plans, que conflueixen en l'origen i a partir dels quals es calculen les coordenades s'anomena sistema de referència.
Història Els primers sistemes de coordenades com a tal els trobem a mitjans del . Rafael Bombelli (20 de gener de 1526 (bateig)-1572; matemàtic italià) va utilitzar la recta numèrica per a representar els diferents nombres com a longituds en aquesta recta; d'aquí en va extreure la idea dels nombres reals, i del primer sistema de coordenades en la recta.
Posteriorment, René Descartes (1596-1650), filòsof i matemàtic francès, va introduir el nou concepte de coordenades en el pla, i al relacionar els punts del pla i les paral·lels de nombres reals, va obtenir els que actualment s'anomenen sistemes de coordenades cartesianes.
Hi ha diverses relacions de la introducció de les coordenades polars com a part d'un sistema formal de coordenades. La història completa de la qüestió es descriu a Origin of Polar Coordinates. Grégoire de Saint-Vincent i Bonaventura Cavalieri varen introduir independentment els conceptes a mitjans del segle disset. Saint-Vincent ho va escriure en privat el 1625 i va publicar el seu treball el 1647, mentre que Cavalieri va publicar el seu el 1635 amb una versió corregida que va aparèixer el 1653. Cavalieri va ser el primer a fer servir les coordenades polars per resoldre un problema referent a l'àrea dins d'una espiral d'Arquimedes. Més tard, Blaise Pascal va fer servir les coordenades polars per calcular la longitud de l'arc de la paràbola.
En l'obra Mètode de les fluxions (escrit el 1671, publicat el 1736), Isaac Newton examina les transformacions entre coordenades polars (de les quals ell en diu la "Setena Manera Per les Espirals"), i uns altres nou sistemes de coordenades. També se li atribueix el primer ús de coordenades negatives en una col·lecció de figures i gràfiques dels polinomis de tercer grau en el seu llibre Enumeratio linearum tertii ordinis, o Enumeració de les corbes de tercer grau. En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli feia servir un sistema amb un punt sobre una línia, anomenats pol i eix polar respectivament. Les coordenades s'especificaven per la distància al pol i l'angle respecte a leix polar. El treball d'en Bernoulli s'estén a trobar el radi de curvatura de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.
El terme actual coordenades polars s'ha atribuït a Gregorio Fontana (Villa di Nogaredo, 7 de desembre de 1735 - Milà, 24 d'agost de 1803; matemàtic italià) i el feien servir els escriptors italians del segle 18. Alexis Clairaut va ser el primer a pensar en coordenades polars en tres dimensions, i Leonhard Euler va ser el primer a desenvolupar-les.
El 1827, en l'obra Der barycentrische Calcül, August Ferdinand Möbius va introduir el concepte de coordenades homogènies o coordenades projectives
El sistema de coordenades UTM va ser desenvolupat pel Cos d'Enginyers de l'Exèrcit dels Estats Units a la dècada de 1940. El sistema es va basar en un model el·lipsoïdal de la Terra. Es va usar l'el·lipsoide de Clarke de 1866 per al territori dels 48 estats contigus. Per a la resta del món-inclosos Alaska i Hawaii - es va fer servir l'el·lipsoide Internacional. Actualment es fa servir l'el·lipsoide WGS84 com a model de base per al sistema de coordenades UTM.
Sistemes de coordenades utilitzats Recta numèrica
L'exemple més simple d'un sistema de coordenades és la identificació de punts en una recta amb nombres reals utilitzant la recta numèrica. En aquest sistema, s'escull un punt arbitrari O (lorigen) en una línia. La coordenada d'un punt P es defineix com la distància signada dO a P, on la distància signada és la distància és positiva o negativa segons en quina banda de la línia es troba P. A cada punt se li dona una coordenada única i cada nombre és la coordenada d'un punt únic. center|Una recta numèrica
Sistema de coordenades cartesianes
miniatura|Gràfic d'un sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix x apuntant cap a l'observador. Sistema de coordenades cartesianes tridimensional El sistema de coordenades cartesianes o sistema cartesià és un sistema de coordenades que referencia respecte ja sigui un sol eix (línia recta), respecte a dos eixos (un pla) o respecte a tres eixos (en l'espai) perpendiculars entre si (pla i espai), que es tallen en un punt anomenat origen de coordenades (anàlogament, a , es poden definir sistemes n-dimensionals). En el pla, les coordenades cartesianes (o rectangulars) "x" i "y", que s'anomenen respectivament abscissa i ordenada. Per convenció, l'origen del sistema de coordenades cartesianes és el punt (0,0,0). Les coordenades cartesianes es defineixen per dos eixos (X,Y) quan es tracta de fixar punts en el pla i per tres (X,Y,Z) quan es vol fer això en l'espai. Es consideren eixos mútuament perpendiculars que es tallen en l'origen. Les coordenades d'un punt qualsevol vindran donades per les projeccions de la distància entre el punt i l'origen sobre cadascun dels eixos.
El valor de cada una de les coordenades d'un punt qualsevol (per exemple, A) és igual a la projecció ortogonal del vector de posició de l'anomenat punt () sobre un eix determinat:
Cada un dels eixos està definit per un vector director i per l'origen de coordenades. Per exemple, l'eix x està definit per l'origen de coordenades (O) i un vector () tal que:
, que el seu mòdul és .
El valor de la coordenada x d'un punt és igual a la projecció ortogonal del vector de posició de l'anomenat punt sobre l'eix x.
S'anomenen coordenades cartesianes en honor de René Descartes (1596-1650), el cèlebre filòsof i matemàtic francès que va voler fonamentar el seu pensament filosòfic amb la necessitat de prendre un «punt de partida» sobre el qual edificar tot el coneixement. Com a creador de la geometria analítica, Descartes també va començar prenent un «punt de partida», el sistema de referència cartesià, per poder representar la geometria plana, que fa servir només dues rectes perpendiculars entre si que es tallen en un punt anomenat «origen de coordenades».
Sistema de coordenades polars
miniatura|esquerra|Representació de les coordenades polars, angles expressats en graus Les coordenades polars es defineixen per un eix que passa per l'origen, anomenat eix polar. La primera coordenada és la distància entre l'origen i el punt considerat, mentre que la segona és l'angle que formen l'eix polar i la recta que passa per tots dos punts. El sistema de coordenades polars és un sistema de coordenades de dues dimensions en el que cada punt en un pla està determinat per un angle i una distància. El sistema de coordenades polars és especialment útil quan la relació entre dos punts s'expressa més bé en termes d'angles i distàncies. En el sistema més conegut, el cartesià o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les funcions trigonomètriques.
Com que el sistema de coordenades és de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per r) denota la distància del punt al punt central (conegut com a pol i equivalent a lorigen en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per θ o t) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).
Si bé hi ha exemples que els conceptes d'angle i ràdio es coneixen i manegen des de l'antiguitat, no és sinó fins al , posterior a la invenció de la geometria analítica, en què es pot parlar del concepte formal de sistema coordenades polars. No obstant això, el concepte abstracte de sistema de coordenada polar es deu a Isaac Newton, qui en el seu Mètode de les fluxions escrit el 1671 i publicat el 1736, introdueix vuit nous sistemes de coordenades (a més de les cartesianes) per resoldre problemes relatius a tangents i corbes, un dels quals, el setè, és el de les coordenades polars. El 1691, en la revista Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli va utilitzar un sistema amb un punt en una línia, anomenant-los pol i eix polar respectivament. Les coordenades s'especificaven per la distància al pol i l'angle respecte a l'eix polar. El treball de Bernoulli va servir de base per a trobar el radi de curvatura de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.
El terme actual de coordenades polars s'atribueix a Gregorio Fontana, i va ser utilitzat pels escriptors italians del . El terme apareix per primera vegada en anglès en la traducció de 1816 feta per George Peacock del Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (Tractat del càlcul diferencial i del càlcul integral) de Sylvestre François Lacroix, mentre que Alexis Clairault ser el primer que va pensar a ampliar les coordenades polars a tres dimensions.
Sistema de coordenades cilíndriques miniatura|Un punt traçat en coordenades cilíndriques
El sistema de coordenades cilíndriques és una generalització del sistema de coordenades polars pla, al que s'afegeix un tercer eix de referència perpendicular als altres dos. Aquest sistema és especialment útil en problemes de simetria axial.
La notació usada per aquest sistema de coordenades no és uniforme. L'estàndard ISO 31-11 l'estableix com . Però, en molts casos l'azimut es denota com . La coordenada radial de vegades s'anomena mentre que a coordenada vertical de vegades és referida com .
En el sistema de coordenades cilíndriques, a cada punt P de l'espai se li assignen les coordenades de forma que: és la distància de l'origen O a P', la projecció ortogonal del punt P al pla XY. O cosa que és el mateix: la distància de P a l'eix z. és l'angle entre el semieix positiu x i la recta OP', mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotge. el mateix que en el sistema de coordenades cartesià és a dir, la distància del punt P al pla xy.
Sistema de coordenades esfèriques miniatura|Un punt traçat fent servir un sistema de coordenades esfèriques
El sistema de coordenades esfèriques està format per tres eixos mútuament perpendiculars que es tallen en l'origen. La primera coordenada és la distància entre l'origen i el punt, essent les altres dues els angles que cal girar per arribar a la posició del punt. Quan s'estén el concepte de coordenades esfèriques a espais de dimensió superior llavors s'anomena com a coordenades hiperesfèriques.
Hi ha diverses convencions per a representar les tres coordenades. D'acord amb l'Organització Internacional per a l'Estandardització (ISO 31-11), la notació és (r, θ, φ) per indicar la distància radial, l'angle zenital i l'angle azimutal respectivament.
Les tres coordenades (r, θ, φ) es defineixen com: r ≥ 0 és la distància de l'origen al punt P. 0 ≤ θ ≤ π és l'angle entre la part positiva de l'eix z i la recta que passa per l'origen i P. 0 ≤ φ < 2π és l'angle entre la part positiva de l'eix x-axis i la recta que passa per l'origen i P projectada sobre el pla xy.
φ s'anomena l'azimut, mentre que θ s'anomena el zenit, la colatitud o l'angle polar.
θ i φ deixen de tenir sentit quan r = 0 i φ deixa de tenir sentit quan sin(θ) = 0 (a θ = 0 i a θ = π).
Sistema de coordenades homogènies miniatura|Corba racional de Bézier; corba polinominal definida amb coordenades homogènies (blau) i la seva projectció en el pla; corba racional (vermell)