En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.
El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.
Enunciat del teorema per al cas Siguin i dues successions de nombre reals. Suposem que és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictament creixent i s'aproxima a , o estrictament decreixent i s'aproxima a ) i existeix el següent límit:
Aleshores, el límit
Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus .
Enunciat del teorema per al cas Siguin i dues successions de nombre reals. Suposem ara que i mentre que és estrictament decreixent. Si
aleshores
Criteri de Stolz de l'arrel Siguin i dues successions tals que,
és monótona creixent i divergent
Aleshores,
Demostracions Demostració del teorema per al cas Cas 1: suposem que estrictament creixent i divergent a i . Per hipòtesi, tenim que per a tot existeix tal que
és a dir
Com que augmenta estrictament, , i es compleix el següent . A continuació ens adonem que
així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim
Ara, com que amb , hi ha un tal que per a tots els , i podem dividir les dues desigualtats per per a tots els
Les dues successios (que només es defineixen per a ja que podria haver-hi un tal que )
són infinitesimals ja que i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot existeix , de manera que
per tant
que conclou la prova.
El cas amb estrictament decreixent i divergent a , i és similar.
Cas 2: suposem que estrictament creixent i divergent a i . Seguint com abans, per a tots els hi ha de manera que per a tots els
De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim
i
La successió definida per
és infinitesimal, per tant
combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem
Les demostracions dels altres casos amb estrictament creixent o decreixent i s'acosten a o respectivament i tots procedeixen de la mateixa manera.
Demostració del teorema per al cas Cas 1: primer considerem el cas amb i estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada , podem escriure
i per a qualsevol de manera que per a tots els tenim
Les dues successions
són infinitesimals ja que per hipòtesi amb , per tant, per a tots els hi ha de tal manera que
així, escollint adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a ) obtenim
que conclou la prova.
Cas 2: suposem que i estan estrictament decreixents. Per a tots els existeix de manera que per a tots els
Per tant, per a cada
La successió
convergeix a (mantenint fixa). Per tant de manera que i, escollint convenientment, concloem la demostració
Aplicacions i exemples El teorema sobre el cas té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.
Sumatori aritmètic Sigui una successió de nombres reals que convergeix a , definim
aleshores és estrictament creixent i divergeix a . Calculem
per tant
Donada qualsevol successió de nombres reals, suposem que
(finit o infinit), llavors existeix
Sumatori geomètric Sigui una successió de nombres reals positius que convergeixen a i definim
tornem a calcular
on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així
com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que . Donada qualsevol successió de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
existeix (finit o infinit), doncs
Suposem que se'ns dona una successió i se'ns demana que calculem
definint i obtenim
si apliquem la propietat anterior
Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits Donada qualsevol successió de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
existeix (finit o infinit), doncs
Exemples Exemple 1
Exemple 2
on hem utilitzat la representació de com a límit d'una successió.
Història El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885 i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.
Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].
La forma general Enunciat La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent: Si i són dues successions tals que és monòton i no fitat:
Demostració En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per . L'enunciat equivalent que demostrarem és: Siguin dues successions qualsevol de nombres reals tals que , , llavors
Prova de l'enunciat equivalent Primer observem que: sosté per definició de límit superior i límit inferior; es manté si i només si perquè per a qualsevol successió . Per tant, només hem de demostrar que . Si no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar (pot ser finit o ). Per definició de , per a tot hi ha un nombre natural de tal manera que
Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure
Perquè , també tenim i podem dividir per per aconseguir
A partir que amb , la successió
i obtenim
Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això
i hem acabat.
Prova de l'enunciat original Ara, prenem com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim
a partir que és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), per a tot i a partir que també , així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar (i les seves sumes parcials )
que és exactament el que volíem demostrar.
Referències
Bibliografia
Stolz-Cesaro