En matemàtiques, i més específicament en topologia algebraica i combinatòria polièdrica, la característica d'Euler (o característica d'Euler-Poincaré) és una invariant topològica, un nombre que descriu la forma o estructura en l'espai topològic independentment de la manera en què un políedre es col·loqui o es plegui. Normalment es denota amb la lletra grega khi: .
La característica d'Euler es va definir originàriament per a políedres i es va utilitzar per demostrar-ne diversos teoremes, incloent la classificació dels sòlids platònics. Leonhard Euler, que va ser qui va donar nom al concepte, va ser el responsable de gran part d'aquesta feina primerenca. En matemàtica moderna, la característica d'Euler sorgeix a partir de l'homologia i connecta amb moltes altres invariants.
En políedres La característica d'Euler era definida classicament per les superfícies del políedre, d'acord amb la fórmula
on V, A, i C són respectivament el nombre de vèrtexs, arestes i cares en el políedre donat. Qualsevol políedre convex té característica d'Euler
Aquest resultat es coneix com a fórmula o relació d'Euler.
NomImatgeVèrtexsVArestesACaresCCaracterística d'Euler:V − A + CTetraedre50px|Tetràedre4642Hexaedre o cub50px|Cub81262Octaedre50px|Octàedre61282Dodecaedre50px|Dodecaedre2030122Icosaedre50px|Icosaedre1230202
Les superfícies de políedres no convexos poden tenir característiques d'Euler diferents:
NomImatgeVèrtexsVArestesACaresCCaracterística d'Euler:V − A + CTetrahemihexaedre100px|Tetrahemihexaedre61271Octahemioctaedre100px|Octahemioctaedre1224120Cubohemioctaedre100px|Cubohemioctaedre122410−2Gran icosaedre100px|Gran icosaedre1230202
Per als políedres regulars, Arthur Cayley va derivar una forma modificada de la fórmula d'Euler utilitzant la densitat , la densitat de la figura del vèrtex i densitat facial
Aquesta versió és vàlida tant per a políedres convexos (on les densitats són totes 1) com per als políedres de Kepler-Poinsot no convexos.
Els políedres projectius tenen tots la característica d'Euler 1, com el pla projectiu real, mentre que les superfícies dels políedres toroidals tenen totes la característica d'Euler 0, com el tor.
Gràfics de pla La característica d'Euler es pot definir per a gràfics plans connectats mitjançant el mateix fórmula com per a superfícies polièdriques, on és el nombre de cares del gràfic, inclosa la cara exterior.
La característica d'Euler de qualsevol graf connectat al pla és 2. Això es demostra fàcilment per inducció sobre el nombre de cares determinat per , començant amb un arbre com a cas base. Per als arbres, i . Si té components (grafs desconnectats), el mateix argument per inducció sobre mostra que Un dels pocs articles de teoria de grafs de Cauchy també demostra aquest resultat.
Via projecció estereogràfica, el pla es correspon amb la 2-esfera, de manera que un graf connectat es correspon amb una descomposició poligonal de l'esfera, que té la característica d'Euler. 2. Aquest punt de vista està implícit en la demostració de Cauchy de la fórmula d'Euler que es presenta a continuació.
Demostració de la fórmula d'Euler marc|Primers passos de la demostració en el cas d'un cub Hi ha moltes demostracions de la fórmula d'Euler. Una la va donar Cauchy el 1811, de la següent manera. S'aplica a qualsevol poliedre convex i, més generalment, a qualsevol poliedre el límit del qual sigui topològicament equivalent a una esfera i les cares del qual siguin topològicament equivalents a discs.
Elimineu una cara de la superfície polièdrica. Separant les arestes de la cara que falta, deformeu tota la resta en un gràfic pla de punts i corbes, de manera que el perímetre de la cara que falta es col·loqui externament, envoltant el gràfic obtingut, tal com s'il·lustra en el primer dels tres gràfics per al cas especial del cub. (La suposició que la superfície polièdrica és homeomorfa a l'esfera al principi és el que ho fa possible.) Després d'aquesta deformació, les cares regulars generalment ja no són regulars. El nombre de vèrtexs i arestes s'ha mantingut igual, però el nombre de cares s'ha reduït en 1. Per tant, demostrar la fórmula d'Euler per al poliedre es redueix a demostrar per a aquest objecte planar i deformat.
Si hi ha una cara amb més de tres costats, dibuixa una diagonal, és a dir, una corba a través de la cara que connecta dos vèrtexs que encara no estan connectats. Cada nova diagonal afegeix una aresta i una cara i no canvia el nombre de vèrtexs, per tant, no canvia la quantitat (Aquí cal suposar que totes les cares són discos per demostrar, mitjançant el teorema de la corba de Jordan, que aquesta operació augmenta el nombre de cares en una.) Continueu afegint arestes d'aquesta manera fins que totes les cares siguin triangulars.
Apliqueu repetidament qualsevol de les dues transformacions següents, mantenint l'invariant que el límit exterior és sempre un cicle simple:
Elimina un triangle amb només una aresta adjacent a l'exterior, tal com s'il·lustra al segon gràfic. Això disminueix el nombre d'arestes i cares en una cadascuna i no canvia el nombre de vèrtexs, de manera que conserva Elimina un triangle amb dues arestes compartides per l'exterior de la xarxa, tal com s'il·lustra al tercer gràfic. Cada eliminació de triangle elimina un vèrtex, dues arestes i una cara, de manera que conserva
Aquestes transformacions finalment redueixen el graf planar a un sol triangle. (Sense l'invariant de cicle simple, eliminar un triangle podria desconnectar els triangles restants, invalidant la resta de l'argument. Un ordre d'eliminació vàlid és un exemple elemental d'una descomposició.)
En aquest punt, el triangle solitari té i de manera que Com que cadascun dels dos passos de transformació anteriors ha preservat aquesta quantitat, hem demostrat per a l'objecte deformat i pla, demostrant així per al poliedre. Això demostra el teorema.
Per a proves addicionals, vegeu Eppstein (2013). Diverses proves, incloent-hi els seus defectes i limitacions, s'utilitzen com a exemples a Proofs and Refutations de Lakatos (1976).
Definició topològica Les superfícies polièdriques que s'han comentat anteriorment són, en llenguatge modern, complexos finits de cicle continu bidimensionals. (Quan només s'utilitzen cares triangulars, són complexos simplicials finits bidimensionals.) En general, per a qualsevol complex finit de cicle continu, la característica d'Euler es pot definir com la suma alternant
on k n denota el nombre de cel·les de dimensió n en el complex.
De la mateixa manera, per a un complex simplicial, la característica d'Euler és igual a la suma alternant
on k n denota el nombre de n -símplexes del complex.
Alternativa al número de Betti Més generalment encara, per a qualsevol espai topològic, podem definir el nombre de Betti n -èsim b n com el rang del grup d'homologia singular n -èsim. La característica d'Euler es pot definir llavors com la suma alternant
Aquesta quantitat està ben definida si els nombres de Betti són tots finits i si són zero més enllà d'un cert índex n 0. Per a complexos simplicials, aquesta no és la mateixa definició que al paràgraf anterior, però un càlcul d'homologia mostra que les dues definicions donaran el mateix valor per a .
Punt de vista diferenciable Per a una varietat llisa, compacta i orientada sense vora, , es defineix
El nombre d'interseccions autoorientades de la diagonal de , , dins
Referències
Bibliografia . Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.
. . With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.
. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pàgines . Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pàgines . Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pàgines , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pàgines . Springer 2002, pàgines 157–159
. . R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227. . P. J. Morandi, Group Extensions and H3. From his collection of short mathematical notes.
Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Categoria:Topologia