Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí (), conegut normalment com a al-Khwarazmí o al-Khuwarizmí (c. 780 - c. 850), fou un matemàtic, geògraf i astrònom. Ha estat descrit com el fundador de l'àlgebra i d'ell deriven termes com àlgebra i algorisme.
Les seves dades biogràfiques són insegures: segons l'historiador del seu temps at-Tabarí, la font més fiable, va néixer a prop de Bagdad; altres fonts el fan originari de Pèrsia. Ibn an-Nadim el dona com a originari de Coràsmia, i això potser concorda amb el nom pel qual és més conegut (al-Khwarazmí).
El seu treball científic es va desenvolupar entre els anys 813 i 833 dins de les institucions fundades pel califa al-Mamun: la Casa de la saviesa (dedicada a traduir obres clàssiques), la biblioteca i l'observatori astronòmic de Bagdad. Gràcies a això, es varen transmetre a la cultura àrab els coneixements dels clàssics en grec, llatí o sànscrit. Durant els segles de l'edat mitjana, al-Khwarazmí va ser la principal font de coneixements matemàtics entre l'Orient i l'Occident.
El tractat d'àlgebra Hissab al-jabr wa-l-muqàbala (Compendi de càlcul per reintegració i comparació) va ser dedicat al califa al-Mamun. La paraula àlgebra deriva de la part del títol al-jabr. En aquesta obra, escrita amb finalitats pràctiques de resoldre problemes de repartiment d'herències (molt complicades en el món islàmic) i obres d'enginyeria, es resolen matemàticament i aplicant la lògica d'equacions lineals i quadràtiques. Al-Khwarazmí ensenyà, per exemple, com multiplicar l'expressió (a + b x) (c + d x), tot això expressat en paraules, atès que la notació simbòlica de la matemàtica actual no s'usava.
La paraula algorisme (o la seva variant algoritme) deriva de la traducció llatina realitzada el de l'obra sobre càlcul amb nombres indis anomenada algoritmi (transcripció llatina d'al-Khwarazmí), de numero indorum. També del seu nom en deriva la paraula guarisme, que és sinònim de «xifra»; i en portuguès, un algarismo també té un significat similar. Aquesta obra, Algoritmi, sembla que ha estat la primera en què s'exposà sistemàticament el valor posicional dels nombres en el sistema decimal (inclòs el zero), a partir del sistema de numeració utilitzat a l'Índia.
Obra Àlgebra En el seu tractat d'àlgebra, obra eminentment didàctica, pretenia ensenyar una àlgebra aplicada a la resolució de problemes de la vida quotidiana de l'imperi islàmic d'aleshores. La traducció de Rosen de les paraules d'al-Khwarazmí descrivint les finalitats del seu llibre confirmen l'objectiu educatiu del savi:
Traduït al llatí per Gerard de Cremona al , l'obra va ser usada com a llibre de text en les universitats europees fins al . És possible que abans d'ell s'haguessin resolt equacions concretes, però aquest és el primer tractat conegut en el qual es fa un estudi matemàtic exhaustiu.
Després de presentar els nombres naturals, al-Khwarazmí aborda la qüestió principal en la primera part del llibre: la solució d'equacions. Les seves equacions són lineals o quadràtiques i estan compostes d'unitats, arrels i quadrats; per a ell, per exemple, una unitat era un nombre, una arrel era i un quadrat . Cal destacar que al-Khwarazmí no usava símbols de cap classe, sinó només paraules. Tot i així, als exemples que segueixen s'empra la notació algebraica corrent usada actualment per ajudar el lector a entendre les nocions exposades.
miniatura|Pàgina d'una traducció en llatí que comença amb les paraules Dixit algorizmi Primer redueix una equació a alguna de les sis formes normals: Quadrats igual a arrels (ax² = bx) Quadrats igual a nombres (ax² = c) Arrels igual a nombres (bx = c) Quadrats i arrels igual a nombres (ax² + bx = c) Quadrats i nombres igual a arrels (ax² + c = bx) Arrels i nombres igual a quadrats (bx + c = ax²)
La reducció es porta a terme usant les operacions de khwar («compleció», el procés d'eliminar termes negatius de l'equació) i muqàbala («balanceig», el procés de reduir els termes positius de la mateixa potència quan succeeixen d'ambdós costats de l'equació). Després, al-Khwarazmí mostra com resoldre els sis tipus d'equacions, usant mètodes de solució algebraics i geomètrics. Per exemple, per a resoldre l'equació , escriu:
Segueix la prova geomètrica per compleció del quadrat, que no exposarem ací. Assenyalarem, però, que, entre els experts, les proves geomètriques que usa al-Khwarazmí són objecte de controvèrsia. La qüestió, que roman sense resposta, és si estava familiaritzat amb el treball d'Euclides. Cal recordar que, a l'època de joventut d'al-Khwarazmí, durant el regnat d'Harun ar-Raixid, al-Hajjaj havia traduït els Elements d'Euclides a l'àrab, i era un dels companys d'al-Khwarazmí a la Casa de la Saviesa. Això avalaria la posició de Gerald Toomer.Charles C. Gillespie (ed.). Dictionary of Scientific Biography. Nova York: Charles Scribner's Sons, ed. 1970/1990 Rashed comenta que «el tractament [d'al-Khwarazmí] fou probablement inspirat en el recent coneixement dels Elements».Rashed, R. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. Traducció de A.F.W. Armstrong de la versió francesa de 1984. Però, per la seva banda, Gandz sosté que els Elements li eren completament desconeguts.S. Gandz (ed.). The geometry of al-Khwarizmi, Berlín, 1932. Encara que no és segur que hagi conegut l'obra euclidiana, es pot afirmar que en va rebre la influència per altres obres de geometria. Es pot constatar en el tractament que fa Parshall sobre les similituds metodològiques amb el text hebreu Mishnat ha Middot, de mitjan .K.A. Parshall. «The art of algebra from al-Khwarizmi to Viète: a study in the natural selection of ideas», Hist. of Sci. 26 (1988), núm. 72, 2, p. 129-164.
Al Hissab al-jabr wa-l-muqàbala, al-Khwarazmí continua examinant com les lleis de l'aritmètica s'estenen als seus objectes algebraics. Per exemple, mostra com multiplicar expressions com . Rashed troba les seves formes de resolució extremadament originals, però Crossley les considera menys significatives.J.N. Crossley. The emergence of number. Singapur: World Scientific, 1980. Gandz considera que la paternitat de l'àlgebra és molt més atribuïble a al-Khwarazmí que a Diofant d'Alexandria.S. Gandz. The sources of al-Khwarizmi's algebra, a Osiris I (1936), p. 236-277.
La part següent de l'obra consisteix en aplicacions i exemples. Descriu regles per trobar l'àrea de figures geomètriques com el cercle, i el volum de sòlids com l'esfera, el con i la piràmide. Aquesta secció, certament, té molta més afinitat amb els textos hebreus i indis que amb qualsevol obra grega. La part final del llibre s'ocupa de les complexes regles islàmiques de l'herència, però requereix poc de l'àlgebra que va exposar amb anterioritat, més enllà de la resolució d'equacions lineals. miniatura|Pàgina de l'Hisab al-jabr w'al-muqabala
Aritmètica De la seva aritmètica, possiblement anomenada originalment Kitab al Yama ua al Tafriq bi Hisab a l'hindi (), o «Llibre de la suma i de la resta, segons el càlcul indi», només conservem una versió llatina del , Algorithmi de numero indorum. Malauradament, se sap que la còpia s'aparta força del text original.J.N. Crossley; A.S. Henry. «Thus spake al-Khwarizmi: a translation of the text of Cambridge University Library ms. Ii.vi.5», Historia Math. 17 (1990), núm. 2, p. 103-131. En aquesta obra es descriu amb detall el sistema indi de numeració posicional en base 10 i mètodes per fer càlculs sobre aquesta base. Se sap que hi havia un mètode per trobar arrels quadrades en la versió àrab, però no apareix en la versió llatina. Possiblement, va ser el primer fora de l'Índia a usar el zero com a indicador posicional. Va ser essencial per a la introducció d'aquest sistema de numeració en el món àrab i posteriorment a Europa. En l'obra d'A. Allard, es discuteixen alguns tractats en llatí del basats en aquesta obra perduda.A. Allard. «La diffusion en occident des premières oeuvres latines issues de l'arithmétique perdue d'al-Khwarizmi», J. Hist. Arabic Sci., 9 (1991), núm. 1-2, p. 101-105.
Astronomia Del seu tractat sobre astronomia, Sindhind zij, també s'han perdut les dues versions que va escriure en àrab. Aquesta obra, descrita en detall per B. van Dalen,B. van Dalen. Al'Khwarizmi's astronomical tables revisited: analysis of the equation of time, From Baghdad to Barcelona - Zaragoza 1993 (Barcelona), 1996, p. 195-252. es basa en treballs astronòmics indis a diferència de manuals islàmics d'astronomia posteriors, que varen usar els models planetaris grecs de l'Almagest de Ptolemeu.Z.K. Sokolovskaya. «El període pretelescòpic de la història dels instruments astronòmics. al-Khwarizmi en el desenvolupament d'instruments de precisió al Pròxim i Mitjà Orient». A El gran científic medieval al-Khwarizmi, Fan, Tashkent, 1985, p. 165-178. El text indi en què es basa el tractat és un dels obsequiats a la cort de Bagdad vora l'any 770 per una missió diplomàtica de l'Índia.
Al , Al-Majrití va realitzar una revisió crítica de la versió més curta, que va ser traduïda al llatí per Adelard de Bath; també hi ha una traducció llatina de la versió més llarga, i ambdues traduccions han arribat fins als nostres temps. Els temes principals coberts en l'obra són: els calendaris, el càlcul de les posicions veritables del Sol, la Lluna i els planetes, taules de sinus i tangents, astronomia esfèrica, taules astrològiques, càlculs de paral·laxi i eclipsis, i visibilitat de la Lluna. També es discuteix un manuscrit relacionat sobre trigonometria esfèrica, atribuït a al-Khwarazmí.B.A. Rozenfel'd. "Trigonometria esfèrica a al-Khwarizmi", Istor.-Mat. Issled. 32-33 (1990), p. 325-339.
Geografia miniatura|Un mapa del basat en la Geografia de Ptolemeu per comparança En l'àmbit de la geografia, en una obra anomenada Kitab súrat al-Ard (en àrab: , Llibre de l'aparença de la Terra o de la imatge de la Terra, traduït a l'anglès com a Geography), acabat l'any 833, va revisar i va corregir els treballs anteriors de Ptolemeu pel que fa a Àfrica i l'Orient. Llistà latituds i longituds de 2.402 llocs, i emplaçà ciutats, muntanyes, mars, illes, regions geogràfiques i rius, com a base per a un mapa del món conegut aleshores. Inclou mapes que, en conjunt, són més precisos que els de Ptolemeu. És clar que on hi va haver major coneixement local disponible per al-Khwarazmí, com les regions de l'islam, Àfrica i l'Orient Llunyà, el treball és molt més exacte que el de Ptolemeu, però sembla haver usat les dades d'aquest per a Europa. Es diu que, en aquests mapes, varen treballar a les seves ordres setanta geògrafs.
Només existeix una única còpia supervivent del Kitab súrat-al-Ard, guardada a la Biblioteca de la Universitat d'Estrasburg. A la Biblioteca Nacional d'Espanya de Madrid se'n conserva una còpia traduïda al llatí.
Tot i que ni la còpia en àrab ni la traducció al llatí inclouen el mapa del món, Hubert Daunicht va poder reconstruir un mapamundi usant-ne la llista de coordinades.
Al-Khwarizmí va corregir la sobreestimació que havia fet Ptolemeu sobre la superfície de la mar MediterràniaEdward S. Kennedy, Mathematical Geography, p. 188, in (des de les Illes Canàries a les costes de l'est de la Mediterrània); Ptolemeu va fer una estimació que la mar Mediterrània tenia 63 graus de longitud, mentre que ell va fer l'estimació més correcta que la mar tenia uns 50 graus de longitud.Una de les correccions que al-Khwārizmī va realitzar a l'obra de Ptolemeu és la reducció de la latitud de la Mediterrani de 62° a 52° quan, en realitat, que ha de ser 42°. L'àrab optà pel mateix meridià zero que Ptolemeu, el de les illes Canàries. La quantitat de terra habitada s'estén més de 180°. També va contrariar Ptolemeu dient que l'oceà Atlàntic i l'oceà Índic eren dos cossos oberts d'aigua, no pas mars.