En càlcul, el diferencial d'una funció representa la part principal del canvi a una funció y = ƒ(x) respecte a canvis a la variable independent. El diferencial es defineix per una expressió de la forma
Com si la derivada dy /dx representés el quocient d'una quantitat dy entre una quantitat dx. Un també escriu
El significat precís d'aquestes expressions depèn del context de l'aplicació i el nivell exigit de rigor matemàtic. En tractaments matemàtics rigorosos moderns, les quantitats dy i dx són simplement variables reals addicionals que es poden manipular com a tals. El domini d'aquestes variables pot tenir una importància geomètrica particular si el diferencial es considera com una forma diferencial particular, o importància analítica si el diferencial es considera com a aproximació lineal de l'increment d'una funció. En aplicacions de física, les variables dx i dy sovint es restringeixen a ser molt petites ("infinitesimals").
Història i ús El diferencial el va introduir per primera vegada amb una definició intuïtiva o heurística Gottfried Wilhelm Leibniz, que pensava en el differential dy com un canvi infinitament petit (o infinitesimal) del valor y de la funció, corresponent a un canvi dx infinitament petit de l'argument x de la funció. Per aquesta raó, la taxa de variació instantània de y respecte a x, que és el valor de la derivada de la funció, es nota per la fracció
en el que s'anomena la notació de Leibniz per a derivades. El quocient dy/dx no és infinitament petit; si nó un nombre real. Tret que es facin servir nombres hiperreals.
L'ús d'infinitesimals d'aquesta forma es va criticar àmpliament, per exemple en el pamflet famós L'analista del Bisbe Berkeley. Augustin Louis Cauchy (1823) va definir el diferencial sense apel·lar a l'atomisme dels infinitesimals de Leibniz.Per a un relat històric detallat del diferencial, vegeu , especialment pàgina 275 per a la contribució de Cauchy al tema. Un relat abreujat apareix a . Cauchy explícitament nega la possibilitat de quantitats infinitessimals i infinites presents , i prenia el punt de vista radicalment diferent en què "una quantitat variable es converteix en infinitament petita quan el seu valor numèric disminueix indefinidament de tal manera que convergeix a zero " (; traducció al anglès de ). En canvi, Cauchy, després de d'Alembert, invertia l'ordre lògic de Leibniz i els seus successors: la derivada mateixa es convertia en l'objecte fonamental, definit com a límit de quocients de diferències, i els diferencials es definien llavors en termes de la derivada. És a dir, era lliure de definir el diferencial dy per una expressió
en què dy i dx són simplement variables noves que prenen valors reals finits,. no infinitesimals determinats com ho havien estat per a Leibniz.. : "Els diferencials així definits són només noves variables, i no infinitesimals determinats... "
Segons , l'enfocament de Cauchy era una millora lògica significativa sobre l'enfocament infinitesimal de Leibniz perquè, en comptes d'invocar la idea metafísica d'infinitesimals, les quantitats dy i dx ara podrien ser manipulades exactament de la mateixa manera que altres quantitats reals d'una manera significativa. L'enfocament conceptual global de Cauchy dels diferencials roman l'estàndard en tractaments analítics moderns,: "Aquí comentem merament de passada que és possible fa servir aquesta representació aproximada de l'increment Δy per l'expressió lineal hƒ (x) construir una definició lògicament satisfactòria d'un "diferencial", com ho feia Cauchy en particular." encara que l'última paraula sobre rigor, una idea plenament moderna del límit, en el fons era deguda a Karl Weierstrass.
En tractaments físics, com els que s'apliquen a la teoria de la termodinàmica, la visió infinitesimal encara preval. concilia l'ús físic de diferencials infinitessimals amb la seva impossibilitat matemàtica (tret que es facin servir nombres hiperreals)de la manera següent. Els diferencials representen valors diferents de zero finits que són més petits que el grau de precisió exigia per al propòsit particular a què es destinen. Així "els infinitesimals físics" no necessiten correspondre a infinitesimals matemàtics per tenir un sentit precís.
En següents desenvolupaments del segle XX en L'anàlisi matemàtica i la geometria diferencial, quedava clar que la idea de diferencial d'una funció es podria estendre de diferents maneres. En anàlisi real, és més desitjable tractar directament amb el diferencial com la part principal de l'augment d'una funció. Això condueix directament a la idea que el diferencial d'una funció en un punt sigui una funció lineal d'un augment Δx. Aquesta aproximació permet que el diferencial (com a apliació lineal) sigui desenvolupat per a una varietat d'espais més sofisticats, en el fons causant tals idees com la derivada de Fréchet o la derivada de Gâteaux. De la mateixa manera, en geometria diferencial, el diferencial d'una funció a un punt és una funció lineal d'un vector de tangent (un "desplaçament infinitament petit"), que el presetnata com una classe d'1-forma: la derivada exterior de la funció.
Definició El diferencial es defineix en tractaments moderns de càlcul diferencial de la manera següent.. Vegeu, per exemple, els tractats de , , , i . Les fonts terciàries per a aquesta definició inclouen també i El diferencial d'una funció ƒ (x) d'una variable real x és la funció df de dues variables reals independents x i Δx donada per
Un o els dos arguments es poden suprimir, és a dir es pot veure df (x) o simplement df. Si y = ƒ(x), el diferencial també es pot escriure com a dy. Com que dx(x, Δ; x) = Δx hi ha la convenció d'escriure dx = Δx, de manera que la igualtat
es compleix.
Aquesta idea de diferencial és amplament aplicable quan es busca una aproximació lineal a una funció, en que el valor de l'augment Δx és prou petit. Més precisament, si ƒ és una funció diferenciable a x, llavors l'increment de y
satisfà
on l'error ε en l'aproximació satisfà ε/Δx → 0 quan Δx → 0. En altres paraules, es té la identitat aproximada
en la qual l'error es pot fer tan petit com es vulgui respecte a Δx constrenyent Δx a ser suficientment petit; és a dir
quan Δx → 0. Per aquesta raó, el diferencial d'una funció es coneix com la part principal (lineal) de l'increment d'una funció: el diferencial és una funció lineal de l'increment Δx, i encara que l'error ε; pot ser no lineal, tendeix a zero ràpidament quan Δx tendeix a zero.
Diferencial de funcions de diverses variables Seguint , per a funcions de més d'una variable independent
el diferencial parcial de y respecte a una qualsevol de les variables x1 és la part principal del canvi en y resultant d'un canvi dx1 en aquella variable. El diferencial parcial és per tant
implicant la derivada parcial de y respecte a x 1. La suma dels diferencials parcials respecte a totes les variables independents és el diferencial total
que és la part principal del canvi en y resultant de canvis de les variables independents x i .
De forma més precisa, en el context del càlcul multivariable, seguint , si ƒ és una funció diferenciable, llavors per la definici de diferenciabilitat, l'increment
on els termes d'error ε i tendeixen a zero quan els augments Δx i conjuntament tendeixen a zero. Llavors el diferencial total es defineix rigorosament com a
Com que, amb aquesta definició
es té
Igual que en termes d'una variable, la identitat aproximada es compleix
en la que l'error total es pot fer tan petit com es vulgui a limitant l'atenció a increments prou petits.
Diferencials d'ordre superior Es poden definir diferencials d'ordre superior d'una funció y = ƒ(x) d'una única variable x mitjançant:. . Vegeu també, per exemple
i en general,
Informalment, això justifica la notació de Leibniz per a derivades d'ordre superior
Quan la variable independent x mateixa depèn d'altres variables, llavors l'expressió esdevé a més complicada, a mesura que ha d'incloure també diferencials d'ordre superior en x mateix. Així, per exemple
etcètera.
Consideracions similars s'apliquen per definir diferencials d'ordre superior de funcions de diverses variables. Per exemple, si ƒ és una funció de dues variables x i y, llavors
on és un coeficient binomial. En més variables, es compleix una expressió anàloga, però amb un desenvolupament multinomial adequat en comptes del desenvolupament binomial.
Els diferencials d'ordre superior de diverses variables també esdevenen més complicats quan les variables independents són elles mateixes funcions d'unes altres variables. Per exemple, per a una funció ƒ de x i y que depenen de variables auxiliars, es té
A causa d'aquesta dificultad notational, l'ús de diferencials d'ordre superior es criticava a , que concloia: Enfin, que signifie ou que représente l'égalité
A mon avis, rien du tout.
Malgrat l'escepticisme, els diferencials d'ordre superior emergien com a eina important en l'anàlisi.. En particular en holomorfismes de dimensió infinita i en anàlisi numèrica via el càlcul de diferències finites. En aquests contexts, el diferencial d'ordre n de la funció ƒ aplicat a un increment Δx es defineix per
o una expressió equivalent, com
on és una diferència vers davant n-èsima amb increment t Δx.
Aquesta definició té sentit també si ƒ és una funció de diverses variables (per simplificar aquí es pren com a argument vectorial). Llavors el diferencial n-èsim definit d'aquesta manera és una funció homogènia de grau n en l'increment vectorial Δx. A més, la sèrie de Taylor de ƒ en el punt x ve donada per
La derivada de Gâteaux d'ordre superior generalitza aquestes consideracions a espais de dimensió infinita.
Propietats Un cert nombre de propietats del diferencial resulten de manera directa de les propietats corresponents de la derivada, la derivada parcial, i la derivada total. Aquestes inclouen:
Linealitat: Per a constants a i b i funcions diferenciables ƒ i g
Regla del producte: Per a dues funcions diferenciables ƒ i g
Una operació d amb aquestes dues propietats es coneix en l'àlgebra abstracta com a derivació. A més a més, les diverses formes de la regla de la cadena es compleixen, en nivell creixent de generalitat:
Si y = ƒ(u) és una funció diferenciable de la variable u i u = g(x) és una funció diferenciable de x, llavors
Si y = ƒ(x1, ..., xn) i totes les variables x 1, ..., xn depenen d'un altre variable t, llavors per la regla de la cadena en derivades parcials, es té
Heurísticament, la regla de la cadena en diverses variables es pot entendre dividint els dos costats d'aquesta equació per la quantitat infinitament petita dt.
Es compleixen expressions anàlegues més generals, en què les variables intermèdies x i depenen de més d'una variable.
Formulació general
Una idea coherent de diferencial es pot desenvolupar per a una funció ƒ Rn → Rm entre dos Espais euclidians. Sgin x,Δx ∈ Rn un parell de Vectors euclidians. L'increment de la funció ƒ és
Si existeix una matriu A de m × n tal que
en que el vector ε → 0 quan Δx → 0, llavors ƒ és per definició diferenciable en el punt x. La matriu A de vegades es coneix com la Matriu jacobiana, i l'aplicació lineal que s'associa a l'increment Δx ∈ Rn és el vector AΔx ∈ Rm és, en aquest escenari general, es coneix com el diferencial dƒ(x) de ƒ en el punt x. Això és precisament la Derivada de Fréchet, i la mateixa construcció es pot obtenir entre qualsevols Espais de Banach.
Un altre punt de vista fructífer és definir el diferencial directament com una classe de derivada direccional: