En matemàtiques, un espai funcional és un conjunt d'aplicacions d'una certa forma d'un conjunt en un conjunt . S'anomena espai perquè segons els casos pot ser un espai topològic o un espai vectorial o els dos. Els espais funcionals apareixen en diferents àmbits de les matemàtiques:
En teoria de conjunts, el conjunt de les parts d'un conjunt es pot identificar amb el conjunt de les funcions de amb valors en ; notat . Més generalment, el conjunt de les aplicacions es nota ;
en àlgebra lineal el conjunt de les aplicacions lineals d'un espai vectorial cap a un altre sobre un mateix cos commutatiu és ell mateix un espai vectorial;
En anàlisi funcional, també es poden trobar espais funcionals amb les aplicacions lineals contínues, proveïts de topologies, els exemples principals són els espais de funcions numèriques proveïts d'una topologia; els exemples més coneguts són els espais hilbertians i els espais de Banach.
en anàlisi funcional, el conjunt de les aplicacions del conjunt dels naturals en un conjunt qualsevol s'anomena espai seqüencial. Està format pel conjunt de les successions d'elements de ;
en topologia, es pot intentar construir una topologia sobre l'espai de les funcions contínues d'un espai topològic en un altre , la utilitat del qual depèn de la naturalesa dels espais. Una topologia utilitzada habitualment és la de compacte-obert. Una altra topologia possible és la topologia producte sobre l'espai de les funcions (no necessàriament contínues) . En aquest context, aquesta topologia també es designa amb el nom de topologia de la convergència simple;
En topologia algebraica, l'estudi de la teoria de l'homotopia descansa essencialment en l'estudi dels invariants discrets dels espais de funcions;
en la teoria dels processos estocàstics, el problema tècnic de base és com construir una mesura de probabilitat sobre un espai de funcions constituït per camins de procés (funcions del temps);
en la teoria de categories un espai funcional s'anomena un objecte exponencial. Apareix d'una certa manera com la representació del bifunctor canònic; però en tant que functor (senzill), del tipus [X, -], apareix com a functor adjunt a un functor de tipus (-×X) sobre objectes; en lambda-càlcul i en programació funcional, els tipus d'espais de funcions es fan servir per expressar la idea de funció d'ordre superior;
en la teoria dels dominis, la idea fonamental és de trobar construccions a partir d'ordres parcials que poden modélitsar el lambda-càlcul, creant una categoria cartesiana tancada.
Llista d'espais funcionals Anàlisi funcional Espais generals Els espais localment convexos: espais vectorials amb una família de seminormes (o el que és equivalent que posseeixen una base local de conjunts convexos).
els espai de Fréchet: un espai vectorial amb una família numerable de seminormes (o el que és equivalent proveït d'una distància invariant per translació).
els espais de Banach: espais vectorials amb una família finita de seminormes (o el que és equivalent amb una simple norma).
els Espais de Hilbert: espais vectorials proveïts de producte escalar.
Espais particulars Espai de Schwartz de les funcions indefinidament derivables amb convergència ràpida i el seu espai dual; espai lp espai de les funcions contínues amb suport compacte proveït de la norma de la convergència uniforme; espai de les funcions contínues fitades (funció fitada); conjunt de les funcions que tendeixen cap a zero a l'infinit; espai de les funcions indefinidament derivables; espai de les funcions indefinidament derivables amb suport compacte proveït de la norma uniforme; espai de les funcions amb suport compacte proveït de la topologia límit inductiva; espai de Sóbolev; espai de les funcions holomorphes; Aplicació lineals; aplicacions lineals a trossos; espai de les funcions contínues proveït de la topologia compacte-obert; espai de les funcions proveït de la topologia de la convergència simple; Espais de Hardy Espai de Hölder
Vegeu també Espai seqüencial
Categoria:Espais vectorials Categoria:Anàlisi funcional