fou un matemàtic britànic. Va ajudar a fundar l'escola britànica moderna de la matemàtica pura.
De nen, Cayley gaudia a l'hora de resoldre problemes matemàtics complexos durant l'esbarjo. Va entrar al Trinity College de Cambridge, on va destacar en grec, francès, alemany i italià, així com les matemàtiques. Va treballar com a advocat durant catorze anys. Va provar el Teorema de Cayley-Hamilton, que cada matriu quadrada és l'arrel del seu polinomi característic. Va ser el primer a definir de forma moderna el concepte de grup com un conjunt amb una operació binària que compleix certes lleis. Anteriorment, els matemàtics parlaven de «grups», però aquests es referien als grups de permutacions.
Primers anys Arthur Cayley va néixer al barri de Richmond de Londres (Anglaterra), el 16 d'agost de 1821. El pare, Henry Cayley, era un cosí llunyà de Sir George Cayley, l'innovador enginyer aeronàutic, i descendent d'una família ancestral de Yorkshire. La família vivia a Sant Petersburg, Rússia, on el pare era comerciant; Cayley va néixer a Anglaterra durant un dels viatges anuals que els seus pares feien a la seva terra. La mare era Maria Antònia Doughty, filla de William Doughty. Segons alguns autors la mare era de Rússia, però el nom del seu pare indica un origen anglès. El seu germà era el futur lingüista Charles Bagot Cayley. Arthur Cayley va passar els seus primers vuit anys a Sant Petersburg. El 1829, els seus pares es van establir definitivament a Blackheath, prop de Londres. Arthur va ser enviat a una escola privada. De molt jove va mostrar una gran afició i aptituds en el càlcul numèric. El 1835, a catorze anys, va ser enviat al King's College School de Londres. El mestre de l'escola hi va observar indicis d'un geni matemàtic i va aconsellar als pares que eduquessin el seu fill per entrar a la Universitat de Cambridge.
Educació A l'edat primerenca de disset anys va començar els estudis al Trinity College (Cambridge). La causa de la Societat Analítica havia triomfat, i el Cambridge Mathematical Journal havia estat fundat per Duncan Farquharson Gregory i Robert Leslie Ellis. A l'edat de vint anys, Cayley va contribuir a aquesta revista amb tres articles sobre temes que havien estat suggerits per la lectura de la Mécanique analytique de Lagrange i algunes de les obres de Laplace.
El tutor de Cayley a Cambridge va ser George Peacock i el seu professor particular va ser William Hopkins. Va acabar els estudis de grau el 1842 guanyant el lloc de Senior WranglerEls wranglers eren els alumnes que obtenien les millors qualificacions en el tripos (examen final) de matemàtiques. El senior wrangler era el millor de tots. i el primer premi Smith. Els quatre anys següents va continuar residint a Cambridge com fellow del Trinity College, temps durant el qual va tenir alguns alumnes, encara que el seu treball principal va ser la preparació de 28 memòries per a la revista de matemàtiques.
Com a advocat A causa del temps limitat de la seva beca al Trinity College, va haver de triar una professió i va triar la feina d'advocat, com James Joseph Sylvester amb qui va travar una amistat duradora, i a vint-i-cinc anys va ingressar al Lincoln's Inn de Londres. Es va especialitzar en transmissions de propietats. Va ser quan era un alumne en l'examen d'advocacia que se'n va anar a Dublín per estudiar les lliçons sobre quaternions de Hamilton.
El seu amic Sylvester, que anava cinc cursos per davant ell a Cambridge, va ser un actuari, resident a Londres, de qui es va servir per discutir la teoria dels invariants. Durant aquest període de la seva vida, que s'estén més de catorze anys, Cayley va escriure entre dos i tres centenars d'articles.
Com a professor A la Universitat de Cambridge, la plaça de càtedra de la matemàtica pura s'anomena Càtedra Lucasiana, i és la plaça que havia estat ocupada per Isaac Newton. Al voltant de 1860, alguns fons llegats per Lady Mary Sadlier a la Universitat, havent-se convertit en inútils per al seu propòsit original, van ser emprats per a establir una altra plaça de professor de matemàtiques pures, anomenada Càtedra Sadleiriana. Les exigències del nou professor es definien com «per explicar i ensenyar els principis de la matemàtica pura i aplicar-les per a l'avenç de la ciència». Per a aquesta plaça, Cayley va ser seleccionat a quaranta-dos anys. Va renunciar a la seva feina d'advocat per un modest salari, però mai va lamentar el canvi, ja que la plaça de professor a Cambridge li va permetre posar fi a la lleialtat dividida entre la llei i les matemàtiques, i dedicar la energia a la recerca del que més li agradava. Poc després es va casar i es va establir a Cambridge. Més afortunat que Hamilton en la seva elecció, va tenir una vida familiar molt feliç. El seu amic i col·lega investigador, Sylvester, va comentar una vegada que Cayley havia estat molt més afortunat que ell; que ambdós vivien com solters a Londres, però que Cayley s'havia casat i es va dedicar a una vida tranquil·la i pacífica a Cambridge, i que ell mai es va casar, i va estar lluitant contra el món fins als seus darrers dies.
Com a primer deure d'ensenyament de la càtedra Sadleiriana es va limitar a un cicle de conferències que s'estenien sobre un dels trimestres del curs acadèmic, però quan la Universitat va ser reformada cap a 1886, i part dels fons de la universitat es van aplicar a la millor dotació dels professors de la Universitat, les classes es van estendre a més de dos trimestres. Durant molts anys, l'assistència va ser escassa, però gairebé tots van completar la seva carrera de preparació per als exàmens de competència, i després de la reforma l'assistència ja era de prop de quinze.
L'altra obligació de la càtedra —l'avanç de la ciència— es va complir amb la llarga sèrie de memòries que va publicar, que abastaven tots els aspectes de la matemàtica pura.
El 1876 va publicar un tractat sobre les funcions el·líptiques, que era el seu únic llibre. Va prendre gran interès en el moviment per l'educació de la Universitat femenina. A Cambridge, les universitats femenines són Girton i Newnham. En els primers dies de Girton College va donar ajuda directa en l'ensenyament, i durant alguns anys va ser president del Consell de Newnham College.
El 1872 va ser nomenat membre honorari del Trinity College, i tres anys més tard, membre ordinari, el que significa estipendi, així com honor. Maxwell va escriure un discurs davant el Comitè dels Notables que tenien a càrrec seu el fons de retrat Cayley. Els versos fan referència als temes investigats en diverses memòries més elaborades de Cayley, com els Capítols de la Geometria Analítica de n dimensions; En la teoria dels determinants; Memòria sobre la teoria de Matrius, Memòries sobre les superfícies d'inclinació, en cas contrari Scrolls; Al de la delimitació d'un Desplaçament Cúbic, etc.
El 1881 va rebre de la Universitat Johns Hopkins (Baltimore, Maryland, Estats Units), on Sylvester va ser professor de matemàtiques, una invitació per impartir un curs de conferències. Va acceptar la invitació, i va donar conferències a Baltimore, durant els cinc primers mesos de 1882 sobre el tema de les funcions Abelianes i Theta.
Obres completes El 1889, l'editorial Cambridge University Press, li va demanar que preparés els seus treballs matemàtics per a publicar-ls en un una sèrie de volums, una petició que ell va apreciar molt. Estan impresos en magnífics volums en quart, els set primers dels quals van aparèixer editats per ell mateix. Mentre redactava aquests volums, patia una malaltia dolorosa interna, a la qual va sucumbir el 26 de gener de 1895, a setanta-quatre anys. Quan el funeral va tenir lloc, una gran assemblea es va reunir a la Capella del Trinity College, integrat per membres de la Universitat, representants oficials de Rússia i els Estats Units, i molts dels filòsofs més il·lustres de la Gran Bretanya.
La resta dels seus treballs van ser editats pel professor Andrew Forsyth, el seu successor en la càtedra Sadleiriana, que va culminar la tasca el 1898 amb un volum suplementari que conté els índexs de títols (967 en total) i temàtic. Els seus escrits són el seu millor monument, i certament cap matemàtic ha tingut alguna vegada en el seu monument més grandiós estil. Les obres de De Morgan serien més àmplies, i molt més útils, però no tenien rere seu una editorial universitària. Pel que fa a les modes, Cayley va mantenir-se a l'afició de la seva darrera novel·la, a la lectura i a viatjar. També va tenir especial plaer en la pintura i l'arquitectura, i va practicar amb les aquarel·les, les quals va trobar útils de vegades per a diagrames matemàtics.
Quaternions Per a la tercera edició del Tractat de quaternions de l'Escola Primària PG, Cayley va contribuir amb un capítol titulat "Esquema de la teoria analítica dels quaternions." El -1 √ reapareix en tota la seva glòria, i en tot, pel que es diu, la independència de i, j, k
El 1894 va sorgir un debat vigorós entre Tait i Cayley a "Coordenades front quaternions," el registre que està imprès en els Actes de la Real Societat d'Edimburg. Cayley va mantenir la posició que, mentre que les coordenades són aplicables a tota la ciència de la geometria i són la base natural i apropiat i el mètode en la ciència, els quaternions serien un mètode particular i molt artificial per al tractament de les parts de la ciència de la geometria tridimensional que és més natural discutit per mitjà de coordenades rectangulars x, y, z. En el curs del seu document de Cayley diu:
Tinc gran admiració pel concepte de quaternions; però, com crec que la lluna plena és més bonica que qualsevol vista de la lluna, pel que fa a la noció d'un quaternió és molt més bell que qualsevol de les seves aplicacions. Com un altre exemple, puc comparar una fórmula quaternió a una butxaca-mapa, amb una mica de capital per posar a la butxaca, però que per al seu ús ha de ser oberta: la fórmula, per a ser comprès, s'ha de traduir en coordenades.
Ell dirà,
Observo que l'imaginari d'àlgebra ordinària-per anomenar aquesta distinció θ-no té cap relació amb els símbols quaternió i, j, k, de fet, en el punt de vista general, totes les quantitats que es presenten, són o poden ser, els valors d'un complex de θb +, o en altres paraules, diuen que una quantitat escalar és, en general, de la forma a + θb. Així els quaternions no es presenten adequadament en geometria bidimensional o plana en absolut, sinó que pertanyen essencialment a la sòlida o la geometria tridimensional, i que estan més naturalment aplicables a la classe de problemes que, en les coordenades són tractades per mitjà de les tres coordenades cartesianes X, Y, Z.
Per a la il·lustració de butxaca es pot respondre que un conjunt de coordenades és un mapa d'una paret immensa, que no es pot portar al voltant, tot i que ha de rodar cap amunt i, per tant, és inútil per a molts propòsits importants. En resposta als arguments, es pot dir, en primer lloc, √ -1 té una relació amb els símbols i, j, k per a cada un d'aquests i poden ser analitzats en una unitat d'eix multiplicat per √ -1; en segon lloc, pel que fa a la geometria plana, la forma ordinària de la quantitat de complexos és una forma degradada del quaternió en què l'eix constant que la geometria plana deixa sense especificar. Cayley va prendre les seves il·lustracions de la seva experiència com a viatger. Tait va presentar una il·lustració del que es pot imaginar que havia visitat: els treballs del ferro de Betlem, i els tigres de caça a l'Índia. Ell diu: